Un groupe qui est aussi une variété lisse de dimension finie et pour lequel les opérations de groupe (multiplication et inversion) sont des applications lisses ; il combine ainsi une structure de groupe algébrique et une structure différentiable.

Principe

Compatibilité des structures algébrique et lisse : les cartes de la variété doivent rendre la multiplication G×G→G et l'inversion G→G infiniment différentiables (ou C^k selon précision), permettant la linéarisation locale en l'identité et le passage à l'algèbre de Lie associée.

Démonstration

SO(3) : le groupe des matrices orthogonales réelles 3×3 de déterminant 1 est un groupe de Lie de dimension 3 ; le produit et l'inverse sont des opérations matricielles lisses. Autre exemple : R^n pour l'addition, groupe de Lie dont l'algèbre de Lie est lui‑même avec crochet nul.

Mauvaise application

Considérer tout groupe topologique ou continu comme groupe de Lie sans vérifier une structure de variété lisse compatible ; supposer que des groupes discrets ou des groupes fonctionnels de dimension infinie sont automatiquement des groupes de Lie de dimension finie, ou présumer compacité/connexité par défaut.

Conséquence

Un groupe de Lie possède un espace tangent en l'identité qui forme une algèbre de Lie ; les outils de la géométrie différentielle (application exponentielle, sous-groupes à un paramètre, flux) s'appliquent et fournissent des résultats de classification et de représentation reliant la structure algébrique locale au comportement global du groupe.

Inversion

Un groupe topologique dépourvu d'une structure de variété lisse compatible (par exemple de nombreux groupes de dimension infinie ou pathologiques), ou un groupe algébrique défini sur des corps sans structure lisse réelle compatible — ceux-ci ne satisfont pas l'exigence de lissité.

Limite

S'applique généralement aux variétés différentiables de dimension finie sur R (ou C avec structure supplémentaire) ; les groupes de Lie de dimension infinie de type Fréchet ou les groupes purement topologiques sont exclus sauf précision. La classe de régularité (C^k, C^∞) doit être précisée, et les variétés sont souvent supposées séparées et à base dénombrable pour la théorie standard.

Tension sémantique

Il existe une tension entre « groupe de Lie » et « groupe algébrique » (variétés algébriques munies d'une loi de groupe), ainsi qu'entre groupes de Lie finis et groupes de dimension infinie apparaissant en analyse ou en physique ; l'expression « groupe continu » est ambiguë et n'implique pas nécessairement différentiabilité.

Synthèse

Le Groupe de Lie synthétise la symétrie de groupe et la structure de variété lisse : une variété différentiable de dimension finie dont la multiplication et l'inversion sont lisses, de sorte que la structure infinitésimale (algèbre de Lie) et le comportement global sont reliés par des méthodes différentielles.