Une fonction f : G → H entre groupes qui préserve l'opération de groupe : pour tous a,b dans G, f(ab) = f(a)f(b) ; les homomorphismes envoient l'identité sur l'identité et les inverses sur des inverses, et leurs noyaux et images sont des invariants centraux.

Principe

Les applications préservant la structure transposent l'information groupique entre contextes ; la condition d'homomorphisme assure la compatibilité avec la multiplication afin que les relations algébriques soient respectées par l'image.

Démonstration

L'application déterminant det : GL_n(R) → R^× est un homomorphisme car det(AB) = det(A)det(B) ; son noyau est formé des matrices de déterminant 1 et son image est le sous-groupe multiplicatif des unités.

Mauvaise application

Considérer comme homomorphisme toute fonction entre ensembles sous-jacents sans vérifier la propriété de préservation de la multiplication ; composer des fonctions non homomorphes peut détruire la structure algébrique et conduire à une mauvaise identification des noyaux ou images.

Conséquence

Les homomorphismes permettent de quotienter par des noyaux, de factoriser via les images, de classifier des groupes à travers des images isomorphes, et de transférer des propriétés (comme la solvabilité) le long d'applications appropriées.

Inversion

Une application non homomorphe ne respecte pas les relations de groupe et ne peut donc pas servir à produire des quotients ou noyaux valides ; elle ne peut pas être inversée ni factorisée dans le sens catégorique sans structure supplémentaire.

Limite

Défini pour des applications entre groupes munis d'opérations spécifiées ; les applications linéaires entre groupes additifs sont des homomorphismes mais il faut vérifier la compatibilité coordonnée, et les homomorphismes bijectifs sont des isomorphismes tandis que les autres se factorisent via leurs images.

Tension sémantique

Souvent confondu avec les homomorphismes dans d'autres catégories algébriques (anneaux, modules) où des conditions supplémentaires de compatibilité sont requises ; l'homomorphisme de groupes est la condition minimale de compatibilité multiplicative, distincte des homomorphismes d'anneaux ou de modules.

Synthèse

Un homomorphisme de groupes est une application qui transporte la loi de multiplication d'un groupe dans un autre, identifiant noyaux et images qui organisent les groupes en quotients et images homomorphes et servant de morphismes dans la catégorie des groupes.