Un groupe engendré par un seul élément g : G = ⟨g⟩ = {g^n : n ∈ Z} pour le cas cyclique infini ou {g^n : n ∈ Z_n} pour le cas cyclique fini. Chaque élément de G est une puissance (ou un multiple entier en notation additive) du générateur.

Principe

L'existence d'un générateur unique ramène la structure du groupe à l'arithmétique des puissances du générateur ; la classification se réduit soit au cas infini isomorphe à (Z, +), soit au cas fini isomorphe à Z/nZ pour un certain n.

Démonstration

Z sous l'addition est cyclique infini engendré par 1. Les entiers modulo n, Z/nZ, sont cycliques finis engendrés par 1 modulo n. En notation multiplicative, le groupe des racines n‑ièmes de l'unité est un sous-groupe cyclique quand existe une racine primitive correspondante.

Mauvaise application

Supposer qu'un groupe est cyclique parce qu'il contient un élément d'ordre élevé ou parce qu'il est engendré par un ensemble sans vérifier qu'un seul élément engendre tout le groupe. Confondre « engendré par » et « contient un sous-groupe cyclique » est une erreur fréquente.

Conséquence

Les groupes cycliques sont nécessairement abéliens ; leur structure en sous-groupes est complètement déterminée par les diviseurs de l'ordre dans le cas fini, et ils sont classifiés par un seul invariant (l'ordre). Cela rend de nombreux calculs explicites et élémentaires.

Inversion

Les groupes non cycliques nécessitent plusieurs générateurs et présentent une structure de sous-groupes et de sous-groupes normaux plus complexe ; ils peuvent être non abéliens et résistent à une classification par un seul invariant scalaire.

Limite

Cette entrée porte uniquement sur les groupes engendrés par un seul élément. Elle exclut les groupes engendrés par plusieurs éléments, les groupes cycliques seulement via une structure supplémentaire, et les systèmes où les puissances ne sont pas définies ou n'ont pas de sens (p. ex. systèmes non associatifs).

Tension sémantique

Il y a une tension entre un groupe cyclique et la notion plus faible de sous-groupe cyclique : de nombreux groupes contiennent des sous-groupes cycliques sans être cycliques eux-mêmes. De plus, « cyclique » en dynamique ou en topologie peut décrire une périodicité qui n'implique pas la cyclicité algébrique.

Synthèse

Un groupe cyclique est le groupe non trivial le plus simple : un seul générateur détermine tous les éléments et la structure, menant à une classification complète en Z (infini) ou Z/nZ (fini).