Une structure algébrique (G, ·) formée d'un ensemble G muni d'une loi binaire · qui est fermée, associative, possédant un élément neutre e dans G et telle que pour chaque élément g de G il existe un inverse g^{-1} dans G. La notion se considère au sens de l'égalité de l'ensemble et de la loi, et les homomorphismes respectent l'opération.

Principe

Un groupe organise des éléments par une loi associative fermée, munie d'un élément neutre et d'inverses bilatéraux ; ces axiomes permettent la composition, l'annulation et la résolution d'équations à l'intérieur de l'ensemble.

Démonstration

Les entiers Z avec l'addition (Z, +) forment un groupe : l'addition est associative et fermée, 0 est l'identité et chaque n a pour inverse −n. Un autre exemple standard est le groupe des permutations S_n des bijections d'un ensemble à n éléments, avec la composition.

Mauvaise application

Qualifier de groupe toute structure associative avec identité en négligeant l'existence des inverses (par exemple appeler un monoïde un groupe) ou supposer la commutativité sans justification sont des usages incorrects fréquents.

Conséquence

Lorsque les axiomes de groupe sont vérifiés on obtient des lois d'annulation, l'unicité de l'identité et des inverses, la construction de groupes quotients par des sous-groupes normaux, et une théorie riche d'homomorphismes et d'actions de groupe reliant l'algèbre à la géométrie et à la combinatoire.

Inversion

Supprimer les inverses donne un monoïde ; supprimer l'identité donne un semi-groupe ; perdre l'associativité entraîne des structures beaucoup plus faibles. Chaque omission affaiblit le contrôle algébrique et invalide de nombreux arguments propres aux groupes.

Limite

Cette entrée traite des groupes abstraits uniquement ; elle exclut la structure supplémentaire (topologique, différentiable ou de variété algébrique) qui conduit aux groupes topologiques, de Lie ou algébriques. Les opérations partielles, multivaluées ou l'absence d'inverses bilatéraux sont hors de ce périmètre.

Tension sémantique

Le sens axiomatique et abstrait de « groupe » peut être confondu avec des notions spécialisées (groupe topologique, groupe algébrique, action de groupe). La tension réside entre le contenu purement axiomatique et la structure géométrique ou analytique ajoutée qui impose continuité, différentiabilité ou contraintes de type schéma.

Synthèse

Un groupe est le système algébrique minimal fermé et associatif muni d'un élément neutre et d'inverses ; il fournit le cadre fondamental pour la symétrie, la résolution d'équations et la construction de quotients et d'homomorphismes.