Objeto en una categoría (comúnmente un módulo, grupo o estructura algebraica) que admite un endomorfismo suprayectivo que no es un isomorfismo; equivalentemente, la suprayectividad de un endomorfismo no implica invertibilidad para ese objeto.

Principio

Los objetos hopfianos satisfacen que todo endomorfismo suprayectivo es inyectivo (y por tanto un automorfismo); los ejemplos no-hopfianos surgen cuando el objeto admite un cociente isomorfo a sí mismo mediante una suryección no trivial, típicamente ligado a estructuras infinitas o divisibles.

Demostración

Ejemplo ilustrativo: un espacio vectorial con base contable admite una aplicación lineal suprayectiva que no es inyectiva (mapa de desplazamiento que manda e1 a 0 y en+1 a en), por lo que como objeto de la categoría de espacios vectoriales es no-hopfiano; de forma similar, ciertos grupos o módulos infinitos construidos con auto-cocientes proporcionan instancias clásicas no-hopfianas.

Aplicación incorrecta

Afirmar comportamiento no-hopfiano para objetos finitos o que satisfacen condiciones de cadena (por ejemplo, módulos finitamente generados sobre anillos noetherianos) es un uso indebido, ya que tales hipótesis de finitud normalmente implican hopfianidad.

Consecuencia

Cuando un objeto es no-hopfiano, fallan los razonamientos que deducen isomorfismo a partir de suprayectividad; esto afecta a la consideración de invariantes bajo quotientes, construcciones autorregresivas y puede impedir la transferencia ingenua de propiedades de finitud a lo largo de suryecciones.

Inversión

La noción inversa es hopfiano: todo endomorfismo suprayectivo es un automorfismo, propiedad que suele estar asegurada por condiciones de finitud como generación finita sobre anillos noetherianos o longitud finita.

Límite

Ámbito y exclusiones: no-hopfiano se refiere a la existencia de un endomorfismo suprayectivo no invertible y es sensible a la categoría ambiente y a las hipótesis de finitud; no afirma nada sobre las aplicaciones inyectivas, que corresponden a la noción co-hopfiana.

Tensión semántica

Existe tensión entre las hipótesis de finitud (que tienden a asegurar hopfianidad) y las construcciones que explotan la auto-similitud infinita (que producen ejemplos no-hopfianos); confundir estos contextos conduce a generalizaciones incorrectas.

Síntesis

Un objeto no-hopfiano manifiesta concretamente el fallo de que la suprayectividad implique invertibilidad: admite una autoaplicación suprayectiva con núcleo no trivial, fenómeno típico de estructuras infinitas o auto-similares y excluido bajo hipótesis de finitud estándar.