Una álgebra asociativa (sobre un cuerpo o anillo) cuya categoría de módulos contiene módulos que no son semisimple; equivalentemente, la álgebra no es semisimple como anillo, por ejemplo su radical de Jacobson es no nulo y no se descompone como suma directa/producto de álgebras simples en el sentido artiniano semisimple.

Principio

La semisimplicidad significa que todo módulo es suma directa de módulos simples y que la álgebra es, en el marco artiniano de dimensión finita, un producto de álgebras de matrices sobre cuerpos divisionarios. La no semisimplicidad indica existencia de extensiones no triviales y un radical no nulo que impide la descomposición en simples.

Demostración

El álgebra de matrices triangulares superiores n×n sobre un campo es no semisimple porque las matrices estrictamente triangulares superiores forman un ideal nilpotente no nulo (el radical), y existen módulos indecomponibles que no son suma directa de simples. Otro ejemplo es la álgebra de grupo kG cuando la característica de k divide el orden finito de G: el teorema de Maschke falla y la álgebra es no semisimple.

Aplicación incorrecta

Tratar todas las representaciones como completamente reducibles (por ejemplo aplicar conclusiones tipo Maschke sin verificar hipótesis) o asumir la ausencia de extensiones entre simples; usar técnicas de clasificación semisimple indebidamente lleva a ignorar cubiertas proyectivas, filtraciones por el radical y la estructura por bloques.

Consecuencia

Las álgebras no semisimple tienen grupos de extensiones Ext^1 no triviales, radicales y filtraciones (series de Loewy, serie radical), descomposición en bloques y un comportamiento homológico más rico: los módulos indecomponibles, coberturas proyectivas y tipos de representación (finito, domesticable, salvaje) son cuestiones centrales.

Inversión

Una álgebra semisimple, en la que todo módulo es completamente reducible en suma directa de simples y el radical es cero, proporcionando una teoría de representaciones rígida y totalmente descomponible.

Límite

El término se refiere a la descomposición en la teoría de representaciones de módulos sobre la álgebra y suele implicar estructura asociativa; la hipótesis de finitud de dimensión y condiciones artinianas hacen más nítida la dicotomía semisimple / no semisimple, mientras que las álgebras de dimensión infinita pueden mostrar sutilezas adicionales.

Tensión semántica

‘No semisimple’ puede confundirse con ‘no simple’ (las álgebras simples no tienen ideales bilaterales no triviales). La tensión es que la semisimplicidad es una propiedad de descomposición categórica, mientras que la simplicidad es una indecomponibilidad ideal-teórica; una álgebra puede ser no semisimple sin que la noción de simplicidad coincida.

Síntesis

Una Álgebra No Semisimple es una álgebra cuya categoría de módulos admite extensiones no triviales e indecomponibles más allá de los simples: la presencia de un radical no nulo y de invariantes homológicos ricos exige técnicas más allá de la clasificación semisimple, centradas en radicales, proyectivos, extensiones y teoría de bloques.