Teorema de teoría de la dimensión que establece que en un anillo noetheriano R, cualquier ideal primo minimal que está sobre un ideal principal (f) tiene altura a lo sumo uno; equivalentemente, la altura de cualquier primo minimal sobre un ideal generado por r elementos es ≤ r (en particular el caso principal da la cota uno).

Principio

Una única ecuación no puede definir componentes de codimensión mayor que uno en un anillo noetheriano: el número de generadores de un ideal proporciona una cota superior sobre la codimensión de sus componentes primarias minimales.

Demostración

En el polinomio k[x,y,z], el ideal principal (f) define una hipersuperficie cuyas componentes irreducibles son de codimensión uno; los primos minimales sobre (f) corresponden a factores irreducibles y sus alturas son ≤ 1, lo que ilustra el teorema.

Aplicación incorrecta

Suponer que la cota de altura se mantiene sin la hipótesis noetheriana o para ideales que no están generados por el número de elementos indicado; en anillos no noetherianos o para ideales que requieren más generadores la cota puede fallar.

Consecuencia

Proporciona control básico sobre dimensión y codimensión en álgebra conmutativa, se usa para deducir propiedades de divisores e hipersuperficies, y sustenta argumentos donde una sola ecuación produce subvariedades de codimensión uno.

Inversión

La inversión—que todo primo de altura ≤ 1 surge como primo minimal sobre algún ideal principal—es falsa en general; aunque muchos primos de altura uno son principales en clases concretas de anillos (p. ej. UFDs), el teorema sólo da una cota superior, no una caracterización.

Límite

Se aplica a anillos noetherianos y concierne a primos minimales sobre ideales generados por un número dado de elementos; excluye anillos no noetherianos y no afirma la existencia de primos de una altura dada, sólo cotas superiores para primos sobre generadores dados.

Tensión semántica

Hay tensión entre el teorema principal de ideales de Krull (una cota sobre alturas) y afirmaciones más finas como Cohen–Macaulay o propiedades de factorización única que proporcionan información estructural más fuerte; no debe sobreinterpretarse la cota de altura como clasificación estructural.

Síntesis

El teorema de ideales principales de Krull limita cómo las ecuaciones reducen la dimensión en anillos noetherianos: una ecuación principal sólo puede introducir componentes minimales de codimensión uno, proporcionando una cota fundamental usada en la teoría de la dimensión y el estudio de hipersuperficies.