Una álgebra C* es una *‑álgebra de Banach compleja A provista de una involución * y una norma que satisface la identidad C*, ||a* a|| = ||a||^2 para todo a en A; equivalentemente ||a*||=||a||, la norma es submultiplicativa y completa. La existencia de unidad es opcional; hay variantes conmutativas y no conmutativas.

Principio

Principio de la identidad C*: la involución y la norma están fuertemente ligadas de modo que las propiedades analíticas (norma, completitud) reflejan la *‑estructura algebraica, permitiendo cálculo funcional y teoría espectral y rigidizando la estructura.

Demostración

Ejemplo canónico: B(H), los operadores acotados sobre un espacio de Hilbert con la norma del operador y el adjunto como involución, es una álgebra C*; ejemplo conmutativo: C0(X), funciones continuas que se anulan en el infinito con la norma sup y la conjugación compleja como involución.

Aplicación incorrecta

Suponer que cualquier *‑álgebra de Banach es una C* sin verificar la identidad C* o usando una involución distinta; confundir clausura en norma con la propiedad C*.

Consecuencia

Las C* admiten un potente cálculo funcional, teoría espectral y de representaciones (construcción GNS); las C* conmutativas corresponden a espacios de Hausdorff localmente compactos, enlazando con la topología.

Inversión

Una *‑álgebra de Banach que no satisface la identidad C* o tiene una involución incompatible es la noción inversa; tales álgebras carecen del control espectral estricto de las C*.

Límite

Requiere escalares complejos, una norma de Banach y una involución * que satisfaga la identidad C*; análogos reales y *‑álgebras puramente algebraicas quedan fuera de la categoría estricta de las C*, y las álgebras de Von Neumann se distinguen por clausuras en topologías de operadores más débiles.

Tensión semántica

Tensión semántica entre álgebra C* y álgebra de Von Neumann: ambas son *‑álgebras de operadores, pero las C* están cerradas en norma mientras las de Von Neumann lo están en una topología de operadores más débil y poseen caracterizaciones bicommutantes.

Síntesis

Una álgebra C* vincula una operación * con una norma de Banach mediante la identidad C*, haciendo coincidir el adjunto algebraico y las normas analíticas y proporcionando un marco robusto para teoría de operadores, topología no conmutativa y análisis espectral.