Una teoría de homología para álgebras asociativas (y más generalmente para bimódulos) que mide la auto-interacción, las trazas y la información de deformación; la homología de Hochschild HH_*(A) se calcula a partir del complejo de cadenas de Hochschild de A con coeficientes en sí misma.

Principio

Ensamblar un complejo de cadenas organizado cíclicamente cuya diferencial registre la multiplicación y los barajados cíclicos para que los grupos de bajo grado capturen centros y trazas mientras los grupos superiores detectan obstrucciones a deformaciones y operaciones superiores.

Demostración

Para un álgebra asociativa A sobre un anillo k, el complejo de cadenas de Hochschild C_n(A)=A^{⊗(n+1)} con la diferencial de Hochschild da HH_n(A)=H_n(C_*(A)); HH_0(A) es A/[A,A] (el espacio de trazas) y HH_1(A) se relaciona con derivaciones módulo las derivaciones interiores.

Aplicación incorrecta

Tratar la homología de Hochschild como una homología puramente topológica sin incorporar la estructura multiplicativa del álgebra, o ignorar los coeficientes bimodulares necesarios, lo que conduce a la pérdida de datos de traza/deformación.

Consecuencia

El cálculo correcto de la homología de Hochschild proporciona invariantes algebraicos para clasificación, es el receptáculo de caracteres de Chern y sirve como entrada para la homología cíclica y los formalismos de cuantización por deformación.

Inversión

El dual cohomológico (cohomología de Hochschild HH^*(A)) controla deformaciones y tiene estructuras de álgebra graduada y Gerstenhaber, mientras que la homología reúne invariantes tipo traza y cíclicos; están relacionados pero no son intercambiables.

Límite

Definida para álgebras asociativas, álgebras dg y bimódulos; la extensión ingenua a entornos no asociativos requiere complejos ajustados, y las potencias tensoriales infinitas demandan completaciones o hipótesis de finitud.

Tensión semántica

Tensión entre la homología de Hochschild vista como receptáculo de trazas y como functor derivado (Tor sobre A^e); formalmente coinciden, pero enfatizan herramientas computacionales y conceptuales diferentes.

Síntesis

La homología de Hochschild es el invariante a nivel cadena de un álgebra asociativa construido a partir de tensores del álgebra con una diferencial que codifica la multiplicación y la estructura cíclica; registra trazas, obstrucciones a derivaciones y datos relevantes para deformaciones.