El dual a nivel de cocadenas de la construcción bar que construye modelos de álgebra diferencial graduada a partir de coalgebras counitales o de álgebras dg aumentadas, utilizado para calcular Ext, cohomología y modelar tipos de homotopía.

Principio

Formar el álgebra (co)libre sobre cogeneradores desuspensos con una diferencial inducida por el coproducto y la counidad, de modo que el objeto diferencial graduado resultante codifique coextensiones, coderivaciones y datos cohomológicos.

Demostración

Dada una coalgebra diferencial graduada counital C, la construcción cobar ΩC es el álgebra dg cuya álgebra tensor subyacente sobre la desuspensión de C^+ lleva una diferencial determinada por el coproducto; su cohomología calcula grupos Ext y modela la homotopía racional en contextos adecuados.

Aplicación incorrecta

Aplicar cobar a una coalgebra sin controlar crecimiento o completaciones (por ejemplo, sumas infinitas de cogeneradores) puede producir un álgebra no convergente o cuya cohomología no capta la información derivada pretendida.

Consecuencia

Bien utilizada, la construcción cobar proporciona modelos de cocadenas explícitos para Ext y la cohomología, produce modelos mínimos en entornos racionales o dg, y realiza dualidades con el complejo bar.

Inversión

Pasar a duales lineales de una construcción cobar (cuando se cumplen condiciones de tipo finito) recupera complejos tipo bar y cálculos de Tor en lugar de cálculos de Ext.

Límite

Se aplica a coalgebras dg counitales, coalgebras conilpotentes y álgebras dg aumentadas bajo hipótesis de finitud o completitud; excluye la aplicación sin consideración de conilpotencia, filtraciones o problemas de convergencia.

Tensión semántica

Existe tensión entre cobar como dual algebraico que proporciona modelos cohomológicos y las construcciones homotópicas de modelos que dan información equivalente pero difieren en condiciones de finitud y completaciones requeridas.

Síntesis

La construcción cobar es el dual de cocadenas de la receta bar: ensambla libremente cogeneradores desuspensos en un álgebra diferencial graduada cuya diferencial codifica la estructura de coalgebra para permitir el cálculo de la cohomología y de invariantes tipo Ext.