La propiedad de que un objeto no es proyectivo: no satisface la propiedad universal de elevación/división y por tanto no divide algunas extensiones ni admite ciertos levantamientos homotópicos.

Principio

Los objetos proyectivos permiten elevaciones frente a epimorfismos y dividen sucesiones exactas; el fallo de proyectividad significa que existen sobreyecciones y diagramas sin elevación, a menudo detectado por Ext^1 no nulo con coeficientes adecuados.

Demostración

Por ejemplo, Z/pZ no es un módulo proyectivo sobre Z, por lo que existen sobreyecciones de módulos Z para las cuales no existe una sección hacia Z/pZ. Más estructuralmente, un módulo que no es sumando directo de un módulo libre exhibe fallo de proyectividad.

Aplicación incorrecta

Suponer que «no proyectivo» implica comportamiento patológico en todo contexto o confundir la no proyectividad con la ausencia de cualquier elevación en todos los diagramas ignora matices: algunos problemas de elevación pueden resolverse para epimorfismos particulares o tras cambio de base.

Consecuencia

Reconocer el fallo de proyectividad obliga a usar resoluciones proyectivas, funtors derivados o técnicas alternativas (cubiertas planas, dualizaciones inyectivas) para analizar problemas de extensión y elevación; indica dónde las construcciones algebraicas ingenuas requieren reparación homológica.

Inversión

La proyectividad (o ser sumando directo de un proyectivo) garantiza elevaciones y divisiones que eliminan el fallo: toda extensión por un proyectivo se divide y Ext^1 con argumento proyectivo se anula.

Límite

Esta noción tiene sentido en categorías con concepto de objeto proyectivo (categorías abelianas, de módulos); no se traduce literalmente a contextos no abelianos donde la elevación se codifica de otra manera. Excluye problemas exclusivamente relacionados con la flatitud o la inyectividad.

Tensión semántica

Existe tensión entre proyectividad y flatitud: los módulos planos preservan la exactitud del tensor pero no necesariamente dividen extensiones, mientras los proyectivos dividen extensiones pero pueden ser escasos en contextos geométricos; confundirlos empaña distintos modos de fallo.

Síntesis

El fallo de proyectividad es el reconocimiento de que un objeto carece de la propiedad de división/elevación; es una insuficiencia homológica detectada por Ext y resuelta pasando a resoluciones u otras herramientas homológicas; caracteriza con precisión dónde fallan las construcciones algebraicas sencillas.