Un elemento no nulo en un grupo Tor que indica el fallo del producto tensorial para preservar la exactitud o el fallo de la flatitud; tal elemento obstruye operaciones de tensorización ingenuas o elevaciones que dependen de la exactitud de ⊗.

Principio

Tor es el functor derivado a la izquierda del tensor; Tor_n(M,N) no nulo mide hasta qué punto tensorizar por M falla en ser exacto sobre una resolución de N. Las obstrucciones Tor aparecen cuando sucesiones exactas se rompen tras tensorizar, impidiendo identificaciones o propiedades esperadas de cambio de base.

Demostración

Sobre un anillo R, si 0 → K → P → M → 0 es una presentación con P proyectivo, tensorizar con N produce una larga sucesión exacta de Tor. Un Tor_1^R(M,N) no nulo obstruye elevar homomorfismos tras tensorizar y señala que M no es plano respecto a N; por ejemplo Z/p ⊗_Z Z/p produce Tor_1 no nulo en muchas construcciones.

Aplicación incorrecta

Afirmar la flatitud o la exactitud del cambio de base únicamente porque Tor se anula en bajos grados, sin comprobar Tor superiores o las resoluciones pertinentes, es un mal uso del concepto de obstrucción y puede ocultar patologías más profundas.

Consecuencia

Detectar una obstrucción Tor obliga a afinar hipótesis (imponer flatitud, cambiar la base, usar el tensor derivado), a trabajar en categorías derivadas o a controlar resoluciones; explica por qué construcciones ingenuas basadas en ⊗ fallan o por qué ciertas sucesiones espectrales no degeneran.

Inversión

La anulación de los grupos Tor relevantes (todos los Tor_n necesarios = 0) restaura la exactitud del tensor en los grados considerados y elimina la obstrucción, permitiendo las identificaciones por tensor y el cambio de base plano esperados.

Límite

Las obstrucciones Tor tienen sentido en contextos abelianos con producto tensorial y funtores derivados; no se aplican directamente a operaciones pseudo‑tensoriales no distributivas ni a entornos sin álgebra homológica. La noción excluye obstrucciones cohomológicas captadas por Ext.

Tensión semántica

«Obstrucción Tor» suele confundirse con el «fallo de flatitud» en sentido amplio; la tensión es que Tor localiza grados y pares de objetos precisos, mientras que la flatitud es una propiedad global de un objeto sobre toda la categoría o base.

Síntesis

Una obstrucción Tor es el testigo derivado‑tensorial: clases Tor específicas que explican por qué la tensorización deja de ser exacta y por qué la flatitud o el cambio de base ingenuo fallan; eliminar o resolver estas clases restaura el comportamiento tensorial esperado.