Fenómenos patológicos que ocurren en el objeto graduado asociado Gr_F(A) de un objeto filtrado (anillo, módulo, haz), como la aparición de nilpotentes inesperados, pérdida de reducididad, fallo en los recuentos de dimensión esperados o ruptura de propiedades functoriales.

Principio

El paso de un objeto filtrado a su graduado asociado no es exacto y puede separar términos que interactúan en distintos grados; sutilezas en la filtración (no separada, no reducida, torsión) crean artefactos en el graduado que no estaban en el original.

Demostración

Un anillo local reducido con una filtración por un ideal puede tener un anillo graduado asociado no reducido: el cono tangente en un punto singular puede contener elementos nilpotentes aunque el anillo local no tenga nilpotentes embebidos, alterando cómputos de multiplicidad.

Aplicación incorrecta

Asumir que los invariantes calculados en Gr_F(A) (serie de Hilbert, multiplicidad, profundidad) reflejan automáticamente los de A sin comprobar hipótesis como buena filtración o la platitud de la construcción de Rees.

Consecuencia

Conclusiones geométricas o algebraicas erróneas: conos tangentes mal calculados, predicciones falsas sobre suavidad o multiplicidad, y transferencia inválida de regularidad o platitud entre los contextos filtrado y graduado.

Inversión

Un buen comportamiento del graduado asociado se da bajo hipótesis fuertes (por ejemplo filtraciones por potencias de un ideal parámetro regular en un anillo local regular), en las que Gr_F preserva la reducididad y otras propiedades.

Límite

Se aplica específicamente al paso filtrado→graduado; no implica que la categoría graduada sea patológica, y excluye los casos donde la filtración es exhaustiva, separada y compatible con hipótesis noetherianas o de platitud que garanticen buen comportamiento.

Tensión semántica

Entre el graduado asociado como simplificación computacional y su papel como invariante exacto: es una potente sonda del término principal, pero puede inducir a error cuando son relevantes las interacciones de orden inferior.

Síntesis

La patología del graduado asociado advierte que tomar términos dominantes mediante una filtración puede introducir artefactos—nilpotentes, pérdida de exactitud, invariantes sesgados—por lo que hay que verificar hipótesis de filtración y platitud antes de interpretar Gr_F.