Definición
Un elemento no nulo a en un anillo R tal que existe un b no nulo en R con ab = 0; los divisores de cero impiden la cancelación y evitan que R sea un dominio íntegro.
Principio
Principio
Los divisores de cero aparecen cuando la estructura multiplicativa tiene aniquiladores no triviales; miden el fallo de inyectividad bajo multiplicación y la existencia de componentes embebidas o estructura no reducida.
Demostración
Demostración
En Z/6Z, 2 y 3 son elementos no nulos con 2·3 = 0 módulo 6, así que son divisores de cero y Z/6Z no es un dominio íntegro.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Tratar un anillo con divisores de cero como si fuera dominio — por ejemplo cancelar factores o localizar sin invertir los elementos adecuados — conduce a manipulaciones algebraicas erróneas.
Consecuencia
Consecuencia
Las construcciones algebraicas cambian: los ideales pueden tener aniquiladores no triviales, la localización se comporta de forma distinta (muchos primos resultan problemáticos) y los módulos sobre el anillo pueden tener torsión que complica teoremas de estructura.
Inversión
Inversión
La ausencia de divisores de cero caracteriza dominios íntegros, donde la cancelación funciona y los ideales primos se comportan con más regularidad; muchos resultados requieren esta ausencia.
Límite
Límite
El término se aplica a anillos y módulos; excluye al elemento cero y se distingue de los nilpotentes (aunque los nilpotentes suelen ser divisores de cero).
Tensión semántica
Tensión semántica
Entre 'divisor de cero' y 'nilpotente' o 'elemento de torsión': los nilpotentes son una fuente particular de divisores de cero, mientras que la torsión en módulos generaliza la idea de aniquilación.
Síntesis
Síntesis
Un divisor de cero es un indicador de fallo multiplicativo en un anillo: un elemento no nulo que aniquila a otro no nulo, rompiendo la cancelación, alterando la localización y evidenciando estructura no integral.