Un elemento a de un anillo o álgebra R tal que a^n = 0 para algún entero positivo n; equivalentemente, un elemento cuya potencia suficientemente alta se anula y que indica direcciones infinitesimales o la no reducción de la estructura algebraica.

Principio

La nilpotencia organiza el fallo de reducida: los elementos nilpotentes detectan anulaciones de orden superior y pertenecen al nilradical y a las componentes primarias de R.

Demostración

En el anillo cociente k[x]/(x^n), la clase de x es nilpotente porque x^n = 0 en el cociente; en el anillo local de un esquema en un punto no reducido, funciones que se anulan con orden >0 producen clases nilpotentes.

Aplicación incorrecta

Tratar un elemento nilpotente como despreciable en todas las construcciones (por ejemplo, ignorarlo al calcular ciertos grupos Ext o cohomología local): los nilpotentes pueden cambiar invariantes homológicos y la geometría aunque se anulen en el cociente reducido.

Consecuencia

La presencia de nilpotentes no nulos hace que R no sea reducido; quotientando por el ideal que generan se obtiene el anillo reducido asociado, y los nilpotentes anulan ciertos módulos y alteran la profundidad y los primos asociados.

Inversión

Un elemento que nunca se hace cero por ninguna potencia positiva (no existe n>0 con a^n = 0) se comporta como un elemento no nilpotente o libre de torsión respecto de las potencias multiplicativas; en particular, las unidades y no divisores de cero no son nilpotentes.

Límite

Cero es nilpotente (0^1 = 0) y está incluido; los idempotentes (e con e^2 = e) son nilpotentes sólo si e = 0; la nilpotencia trata estrictamente de la anulación por potencias repetidas, no de divisibilidad ni de torsión que nunca llega a cero.

Tensión semántica

A menudo se confunde nilpotente con topológicamente nilpotente (elementos cuyas potencias tienden a cero en una topología adica) o con 'nil' referido a ideales; los términos se solapan pero subrayan contextos distintos.

Síntesis

Un elemento nilpotente es una señal de estructura algebraica no reducida: su potencia iterada se anula, pertenece al nilradical y modifica la descomposición primaria, las propiedades locales y el comportamiento homológico.