Una singularidad cuspidal (cúspide) es un punto donde una única rama de una curva presenta una auto-tangencia que produce una geometría local apuntada y no transversal; algebraicamente la parte cuadrática es un cuadrado y los términos de orden superior producen una única dirección tangente con multiplicidad.

Principio

Las cúspides aparecen cuando la parte homogénea de menor grado de la ecuación local tiene un factor lineal repetido, de modo que la rama no se divide en tangentes distintas; el orden de contacto entre parametrizaciones es mayor y la normalización da una sola rama.

Demostración

Un modelo clásico en el plano es y^2 = x^3 en el origen: el gradiente se anula allí y la curva tiene una única dirección tangente pero un 'punto' más agudo que una inflexión suave, por lo que el origen es una cúspide.

Aplicación incorrecta

Etiquetar como cúspide cualquier punto de aspecto agudo sin comprobar la multiplicidad algebraica o la factorización del término cuadrático, o confundir un punto de inflexión de una curva lisa con una singularidad cuspidal.

Consecuencia

Las cúspides son más severas que los nudos: no son tan estables frente a pequeñas perturbaciones, su normalización difiere de la de los nudos y afectan de modo distinto a invariantes como δ y el género.

Inversión

Un nudo ordinario donde existen dos tangentes distintas y las ramas se cruzan transversalmente, o un punto de inflexión liso donde la curvatura cambia pero el punto sigue siendo regular.

Límite

Se refiere específicamente a una singularidad unibranquial con tangente de multiplicidad >1; excluye degeneraciones multirama, cúspides de orden superior (ramphoid) y fenómenos no reducidos. La característica del cuerpo base puede alterar la clasificación.

Tensión semántica

Hay tensión con la noción de punto de inflexión o de contacto de orden superior que sin embargo es regular; una cúspide es singular y unibranquial, mientras que una inflexión es un fenómeno liso con derivadas superiores nulas pero anillo local regular.

Síntesis

Una cúspide es un punto singular unibranquial donde la parte homogénea de menor grado de la ecuación local tiene un factor lineal repetido, produciendo una única tangente de mayor multiplicidad y una geometría local apuntada (modelo clásico y^2=x^3).