Una clase de estructuras (a menudo una variedad o una clase de modelos) tiene la propiedad de amalgamación (AP) cuando cualquier par de inmersiones de una subestructura común en dos estructuras puede ser embebido conjuntamente en una superestructura de modo que las dos inmersiones concuerden en la parte común (existe un amalgama o empuje para el diagrama de inmersiones).

Principio

AP es la existencia de empujes compatibles para diagramas de inmersiones: dadas inmersiones A→B1 y A→B2, existe C y inmersiones B1→C, B2→C que hacen conmutar el cuadrado e identifican las imágenes de A, permitiendo pegar estructuras de forma coherente a lo largo de la subestructura compartida.

Demostración

Ejemplo: la clase de espacios vectoriales sobre un campo fijo tiene AP: dadas inmersiones de un subespacio común en dos espacios vectoriales, su amalgama es el cociente de la suma directa por la copia diagonal del subespacio (o la suma interna en una extensión común), produciendo un espacio donde las dos inmersiones coinciden en el subespacio compartido.

Aplicación incorrecta

Afirmar que AP se verifica en una clase sin comprobar las inmersiones (por ejemplo, asegurar AP para teorías de primer orden arbitrarias o para cuerpos sin calificación) o usar AP cuando solo están disponibles propiedades más débiles como la propiedad de embebido conjunto; confundir AP con amalgamar homomorfismos arbitrarios y no inmersiones es otro uso indebido.

Consecuencia

Cuando una clase tiene AP se pueden llevar a cabo muchas construcciones model‑teóricas y algebraicas: construir estructuras homogéneas y universales, analizar amalgamas de extensiones y derivar consecuencias de unicidad o categoricidad en ciertas cardinalidades; AP también interacciona con propiedades de definibilidad y estabilidad en teoría de modelos.

Inversión

El fallo de AP significa que existen dos inmersiones de la misma A en B1 y B2 que no pueden embeberse simultáneamente en ningún C preservando la identificación sobre A; muchas clases naturales (notablemente algunos cuerpos con estructura adicional, o clases con clausuras algebraicas incompatibles) muestran fracaso de AP, produciendo fenómenos de obstrucción en teoría de extensiones.

Límite

AP se refiere a inmersiones (aplicaciones inyectivas que preservan la estructura) y a la existencia de un amalgama que conmuta; no garantiza unicidad de amalgamas a isomorfismo salvo que existan condiciones adicionales, ni se aplica a morfismos que no sean inmersiones. AP puede darse en una variedad pero fallar en sus reductos o expansiones, por lo que la firma y la categoría de morfismos importan.

Tensión semántica

Tensión entre AP y la propiedad de embebido conjunto (JEP): JEP solo garantiza una extensión común de dos estructuras pero no un amalgama conmutativo que identifique una subestructura compartida, por tanto AP es estrictamente más fuerte y exige restricciones diagramáticas adicionales.

Síntesis

La propiedad de amalgamación afirma que inmersiones compatibles pueden pegarse en una extensión común: formalmente la existencia de empujes para diagramas de inmersiones. AP permite un pegado controlado de estructuras, sustenta la construcción de objetos homogéneos y universales en teoría de modelos, y su presencia o ausencia condiciona fenómenos de extensión y clasificación.