Una clase de álgebras para una firma fija que es cerrada por imágenes homomorfas, subálgebras y productos directos arbitrarios; equivalente a la clase de todos los modelos que satisfacen un conjunto dado de identidades algebraicas (ecuaciones).

Principio

Axiomación ecuacional: un conjunto de identidades determina una clase cerrada bajo los operadores H (imágenes homomorfas), S (subálgebras) y P (productos directos); recíprocamente, cualquier clase con estas propiedades de cierre es definible por identidades sobre la firma.

Demostración

La clase de todos los grupos para la firma de grupos con las identidades usuales (asociatividad, elemento neutro, leyes de inverso formuladas como ecuaciones con una operación inversa unaria) es una variedad: está cerrada por subgrupos, cocientes (imágenes homomorfas) y productos directos de grupos.

Aplicación incorrecta

Suponer que una variedad puede caracterizarse por oraciones arbitrarias de primer orden o por cierre sólo bajo ultraproductos; eso confunde la definibilidad ecuacional con propiedades modelísticas más amplias y conduce a expectativas de cierre erróneas.

Consecuencia

Las variedades admiten objetos libres sobre cualquier conjunto generador, tienen una teoría estructural basada en congruencias y permiten deducción ecuacional: verificar una identidad en la variedad se reduce a reescrituras de términos y manipulaciones sintácticas en las álgebras libres generadas.

Inversión

Una clase cerrada sólo por subálgebras y productos pero no por imágenes homomorfas (o axiomatizada por implicaciones en lugar de identidades) no es una variedad sino una clase más débil como una quasivariedad; invertir los axiomas de cierre produce comportamientos modelísticos distintos.

Límite

Se aplica a clases definibles por axiomas puramente ecuacionales en una firma finitaria; excluye clases que requieren implicaciones entre fórmulas atómicas, cuantificadores existenciales u otras restricciones no ecuacionales, y propiedades que fallan el cierre bajo productos directos arbitrarios.

Tensión semántica

Existe tensión entre variedades (cierres ecuacionales) y quasivariedades o clases elementales: una misma familia intuitiva de estructuras puede describirse ecuacionalmente o requerir axiomatizaciones Horn o de primer orden completas, lo que afecta las operaciones de cierre y las construcciones libres.

Síntesis

Una variedad es exactamente una clase de álgebras definida por ecuaciones para una firma, caracterizada por el cierre bajo imágenes homomorfas, subálgebras y productos arbitrarios; esta equivalencia enlaza identidades sintácticas con propiedades de cierre algebraico y con la existencia de álgebras libres.