Un método numérico para resolver sistemas de ecuaciones polinómicas que construye una homotopía entre un sistema inicial con soluciones conocidas y el sistema objetivo, y luego sigue las trayectorias de soluciones en el dominio complejo con esquemas predictor‑corrector para aproximar todas las raíces aisladas.

Principio

Aprovechar la deformación continua (continuación analítica) de las soluciones: al conectar el sistema con soluciones conocidas con el objetivo mediante una homotopía genérica, las soluciones aisladas del objetivo corresponden a los extremos de las trayectorias seguidas, bajo supuestos de regularidad de las trayectorias.

Demostración

Construir una homotopía de grado total desde un sistema inicial cuyas soluciones son monomialmente separables; usar un paso predictor (p. ej. Euler) y un corrector (p. ej. Newton) para seguir cada trayectoria de t=0 a t=1, produciendo aproximaciones numéricas de todas las raíces complejas aisladas.

Aplicación incorrecta

Tratar el seguimiento numérico de trayectorias como sustituto del análisis simbólico de multiplicidades: el seguimiento ingenuo puede fallar en resolver soluciones singulares o contar mal raíces cuando las trayectorias divergen o se fusionan sin deflación ni estrategias de endgame.

Consecuencia

Proporciona aproximaciones numéricas escalables y a menudo paralelizables de todas las soluciones aisladas, permitiendo flujos de trabajo en geometría algebraica numérica, descomposiciones irreducibles numéricas y la verificación de recuentos de soluciones previstos por cotas tipo Bézout.

Inversión

Usar únicamente métodos simbólicos de eliminación o resultantes para obtener representaciones algebraicas exactas de las soluciones, renunciando al seguimiento numérico de trayectorias y su escalabilidad paralela.

Límite

Se dirige a soluciones aisladas en el dominio complejo; el rendimiento y la fiabilidad dependen de la elección de la homotopía, del condicionamiento de las trayectorias, del tratamiento de puntos singulares o casi singulares y de los parámetros de tolerancia numérica.

Tensión semántica

Existe tensión entre la continuación homotópica numérica como un solucionador numérico robusto y la expectativa de información algebraica exacta; las salidas numéricas requieren certificación o posprocesado simbólico para afirmar hechos algebraicos exactos.

Síntesis

La continuación numérica por homotopía sigue la continuación analítica de soluciones desde un sistema inicial resoluble hasta el objetivo, usando seguimiento predictor‑corrector y técnicas de endgame para producir aproximaciones numéricas fiables de raíces aisladas.