Una variante de la inducción en la que, para probar P(n+1), se asume que P(k) se cumple para todo k ≤ n (el conjunto completo de casos menores) en lugar de asumir solo P(n); así la hipótesis inductiva es más fuerte y puede usar información acumulada de todas las instancias previas.

Principio

Hipótesis acumulativa: la idea organizadora es que admitir el conjunto completo de verdades anteriores como hipótesis permite pruebas donde una implicación de un solo paso no basta, simplificando argumentos que dependen de varios casos previos.

Demostración

Probar que todo entero mayor que 1 se factoriza en primos: asumir como hipótesis inductiva que todo entero m con 2 ≤ m ≤ n se factoriza en primos; entonces para n+1 o bien es primo o bien tiene una factorización en factores ≤ n que, por la hipótesis, se factorizan en primos; esto utiliza todos los casos menores.

Aplicación incorrecta

Invocar inducción fuerte donde la inducción ordinaria basta puede ocultar la fuerza lógica mínima necesaria, o asumir que la inducción fuerte permite razonamientos no bien fundados más allá de N; usarla sin verificar el rango base (por ejemplo, empezar demasiado alto) también es incorrecto.

Consecuencia

Proporciona una herramienta de prueba flexible que subsume a la inducción ordinaria y respalda pruebas que dependen de varios valores previos, relaciones de recurrencia y ciertas demostraciones de corrección de algoritmos; clarifica la dependencia de instancias anteriores.

Inversión

El reverso es restringirse a la inducción de un solo paso; algunas propiedades demostrables por inducción fuerte pueden volverse engorrosas o requerir lemas adicionales con inducción ordinaria, mostrando la diferencia en la fortaleza de las hipótesis.

Límite

Se aplica en dominios bien ordenados basados en sucesor como N; no es automáticamente aplicable a dominios no bien fundados ni a pruebas que requieren inducción transfinitas sin adaptar la hipótesis a los predecesores transfinitos.

Tensión semántica

Tensión con la economía de hipótesis: la inducción fuerte es lógicamente equivalente a la ordinaria en N, pero parece más potente; la tensión semántica está entre suponer hipótesis mínimas y la conveniencia de admitir todo el corpus previo de verdades.

Síntesis

La inducción fuerte permite asumir todos los casos menores como hipótesis para probar el siguiente caso, agilizando pruebas que necesitan información acumulada anterior y siendo en N equivalente en poder a la inducción ordinaria.