Un invariante numérica e(I,M) definida para un ideal m-primario I en un anillo local noetheriano (A,m) y un módulo A finitamente generado M que mide el término principal del crecimiento de la longitud de M/I^nM como polinomio en n para n grandes; equivalente al coeficiente dominante normalizado del polinomio de Hilbert–Samuel.

Principio

Principio de longitud asintótica: las longitudes de los cocientes por potencias crecientes de un ideal m-primario coinciden eventualmente con un polinomio cuyo coeficiente principal, tras normalizar por factoriales, es la multiplicidad; esto captura el tamaño local y la intensidad de la singularidad en el punto cerrado.

Demostración

En un anillo local regular de dimensión d, la multiplicidad de Hilbert–Samuel del ideal maximal es 1; para una singularidad por hipersuperficie la multiplicidad es mayor que 1, reflejando mayor complejidad singular. El cálculo suele utilizar reducciones a ideales de parámetros o filtraciones para obtener el polinomio de Hilbert–Samuel.

Aplicación incorrecta

Usar la multiplicidad de Hilbert–Samuel para ideales que no son m-primarios o interpretar la multiplicidad como una medida completa del tipo de singularidad: la multiplicidad distingue severidad pero no determina invariantes más finos como el número de Milnor o componentes embebidos.

Consecuencia

La multiplicidad cuantifica el tamaño algebraico local: aparece en teoría de intersecciones como números de intersección, controla estratificaciones de equisingularidad y proporciona criterios numéricos para regularidad (por ejemplo, multiplicidad uno implica regularidad en el contexto Cohen–Macaulay).

Inversión

Considerar secuencias de longitudes para filtraciones no primarias o estudiar multiplicidades hilbertianas graduadas desplaza el foco del crecimiento m-ádico local al crecimiento graduado/global; la perspectiva invertida pone de manifiesto otros invariantes y convenciones de normalización.

Límite

Definida para anillos locales noetherianos respecto a ideales m-primarios o filtraciones apropiadas; no tiene significado directo para ideales no primarios en general o en contextos sin noción de longitud o colongitud finita.

Tensión semántica

Tensión con la multiplicidad del polinomio de Hilbert y la multiplicidad de intersección porque construcciones similares del coeficiente dominante existen en entornos graduados y locales pero difieren en normalización e interpretación geométrica; la multiplicidad compite con otras medidas de singularidad.

Síntesis

La multiplicidad de Hilbert–Samuel es el coeficiente dominante normalizado del polinomio que gobierna el crecimiento asintótico de las colongitudes de las potencias de un ideal m-primario; convierte el crecimiento local de longitudes en un número que evalúa el tamaño algebraico y la severidad de la singularidad.