Función que asigna una magnitud no negativa a una matriz compatible con normas vectoriales y la acotación del mapa lineal asociado; ejemplos comunes son normas inducidas (operador), la norma Frobenius, la norma 1 y la norma infinito.

Principio

Las normas matriciales cumplen submultiplicatividad (||AB|| ≤ ||A||·||B||) cuando son compatibles con normas vectoriales, y las normas inducidas se definen por suprema ||A|| = sup_{x≠0} ||Ax||/||x||; la elección de norma determina qué aspecto del «tamaño» importa (amplificación peor caso, energía por entradas, suma de columnas, etc.).

Demostración

La norma espectral (norma 2 inducida) es el mayor valor singular y mide la amplificación peor caso de vectores unitarios. La norma 1 es la suma máxima absoluta por columna y es útil para acotar efectos por columnas. La norma Frobenius es la raíz cuadrada de la suma de cuadrados de las entradas y equivale a la norma l2 de los valores singulares, útil para medir errores elemento a elemento.

Aplicación incorrecta

Usar una norma por entradas como Frobenius cuando el problema requiere una norma inducida/operador para controlar la amplificación peor caso (p. ej. estabilidad de métodos iterativos), o mezclar normas sin convertir coherentemente las medidas de error entre análisis.

Consecuencia

Una norma matricial bien elegida proporciona cotas útiles sobre propagación de errores, tasas de convergencia y estabilidad de algoritmos lineales; permite comparar operadores y diseñar precondicionadores o estrategias de normalización acordes con la medida escogida.

Inversión

Reemplazar una norma completa por una seminorma o un escalar ad hoc que ignora submultiplicatividad o compatibilidad con normas vectoriales; la noción invertida pierde la capacidad de componer cotas y razonar sobre el comportamiento del operador.

Límite

Deben especificarse las normas (inducida vs por entradas) y están definidas sobre operadores lineales entre espacios normados; en dimensión infinita se exige acotamiento. No todas las medidas útiles del efecto de una matriz son normas (p. ej. el rango numérico no es una norma).

Tensión semántica

Existe tensión entre normas inducidas/operador (que capturan amplificación peor caso sobre vectores) y normas por entradas (que capturan energía agregada); elegir una u otra cambia las propiedades controladas y puede generar intuiciones contradictorias sobre el «tamaño».

Síntesis

Una norma matricial es una norma sobre operadores lineales ligada a una elección de normas vectoriales cuyas propiedades algebraicas (submultiplicatividad, sentido inducido) determinan qué aspectos del tamaño del operador—amplificación peor caso, energía o magnitud por entradas—se están midiendo.