Factorización de una matriz A como A = U Σ V^* donde U y V son matrices unitarias (ortogonales en el caso real) y Σ es una matriz diagonal (o rectangular) de valores singulares no negativos, que expone el rango, la imagen y el núcleo.

Principio

La SVD proporciona bases ortogonales de entrada y salida que diagonalizan la acción de A salvo por escalas no negativas: A envía el i-ésimo vector singular derecho al i-ésimo vector singular izquierdo escalado por el i-ésimo valor singular. Existe para toda matriz y es única salvo signos/fases en caso de valores singulares repetidos.

Demostración

Para A = [[3,0],[0,2]] una SVD es U=I, Σ=diag(3,2), V=I. En análisis de componentes principales, la SVD de una matriz de datos centrada identifica direcciones principales ortogonales y sus varianzas (valores singulares al cuadrado). En mínimos cuadrados, la SVD proporciona un solucionador estable y la pseudoinversa invirtiendo los valores singulares no nulos.

Aplicación incorrecta

Aplicar SVD ciegamente a datos sin centrar o normalizar (confundir la media con la señal) o truncar valores singulares sin comprobar el efecto sobre las cantidades relevantes. Confundir SVD con la descomposición en autovalores de A (en lugar de A^*A) en matrices no simétricas.

Consecuencia

La SVD da la mejor aproximación de rango reducido en normas espectral y Frobenius, calcula la pseudoinversa de Moore–Penrose, revela el rango numérico y el núcleo para regularización y estabiliza soluciones inversas lineales.

Inversión

Invertir la noción pensando que la misma base diagonaliza a izquierda y derecha (es decir, asumir que A es diagonalizable unitariamente): la noción inversa es la descomposición en autovalores, que suele fallar para matrices no normales o rectangulares.

Límite

Se aplica a todas las matrices finitas y a operadores compactos en espacios de Hilbert; sus extensiones a tensores requieren otras descomposiciones multilineales. La SVD presupone una estructura de producto interno y produce factores ortogonales, por lo que excluye descomposiciones en bases no ortogonales.

Tensión semántica

Existe tensión entre SVD y descomposición en autovalores/decomposición polar: todas describen estructura de operador pero imponen condiciones distintas sobre bases (ortonormal vs direcciones invariantes) y difieren en existencia/unicidad; hay que escoger la descomposición adecuada al problema.

Síntesis

La SVD factoriza cualquier matriz en bases ortonormales de entrada/salida y una diagonal de escalas no negativas (valores singulares), revelando rango, distribución de energía y formas estables de invertir o aproximar el operador.