Un representante canónico de la clase de semejanza de un operador lineal sobre un campo, construido a partir de los factores invariantes (divisores mónicos del polinomio característico) como suma directa de bloques companion; clasifica matrices por semejanza sin suponer el escindido del polinomio.

Principio

Descomponer el espacio vectorial en módulos cíclicos para el operador correspondientes a los factores invariantes; cada factor invariante determina un bloque companion y su suma directa (bloque diagonal) es única salvo el orden y proporciona una forma canónica bajo semejanza sobre el campo base.

Demostración

Dado un operador con factores invariantes f1 | f2 | ... | fk, formar las matrices companion de esos polinomios en la diagonal. Esta matriz en bloques tiene como polinomio característico el producto de las fi y es semejante al operador original sobre el mismo campo.

Aplicación incorrecta

Usar la forma canónica racional para inferir vectores propios explícitos o para afirmar diagonalizabilidad: los bloques companion no tienen por qué ser diagonales y la forma expresa la clase de semejanza pero no una base de autovectores; se puede confundir indebidamente bloques companion con bloques de Jordan.

Consecuencia

Proporciona una clasificación de las clases de semejanza independiente del campo y es la forma normal adecuada cuando los valores propios no pertenecen al campo base; permite el cálculo algorítmico de invariantes como el polinomio minimal y los divisores elementales.

Inversión

La forma canónica de Jordan refina la forma racional cuando el polinomio característico se escinde: los bloques companion se descomponen entonces en bloques de Jordan que reflejan multiplicidades geométricas y tamaños nilpotentes.

Límite

Aplicable sobre cualquier campo y no requiere clausura algebraica; no obstante, no provee reducciones ortogonales o unitarias y está menos ligada a proyecciones espectrales que las descomposiciones diagonales o de Schur.

Tensión semántica

Tensión con la forma de Jordan: ambas dan representantes canónicos de semejanza, pero la forma de Jordan exige escindido y produce una estructura nilpotente más granular, mientras la forma racional enfatiza los factores invariantes y funciona sobre el campo original.

Síntesis

La forma canónica racional codifica la estructura de módulo de un operador lineal mediante factores invariantes y bloques companion, ofreciendo un representante canónico de semejanza válido sobre el campo base y sirviendo como la clasificación robusta cuando no hay escindido de valores propios.