Un homomorfismo de un objeto algebraico en sí mismo: f: A → A que preserva las operaciones que definen A.

Principio

Los endomorfismos capturan transformaciones algebraicas internas y constituyen siempre un objeto algebraico (en muchas categorías un monoide bajo composición; en contextos de módulos o espacios vectoriales forman un anillo o una álgebra).

Demostración

Un endomorfismo lineal de un espacio vectorial V es una aplicación lineal T: V → V; los endomorfismos de un grupo G son homomorfismos G → G que, compuestos, forman End(G).

Aplicación incorrecta

Llamar endomorfismo a cualquier endomapa sin comprobar la preservación de la estructura (por ejemplo, una función V → V que no sea lineal), o ignorar el orden de composición al considerar propiedades algebraicas.

Consecuencia

El conjunto de endomorfismos suele codificar la simetría y dinámica internas del objeto (por ejemplo, valores propios de endomorfismos lineales), y la estructura algebraica de End(A) es fundamental en teoría de representaciones y teoría de módulos.

Inversión

Un automorfismo es un endomorfismo invertible; al carecer de invertibilidad se obtienen endomorfismos generales que no han de ser biyectivos.

Límite

Debe ser una aplicación del objeto sobre sí mismo que preserve las operaciones especificadas; los endomorfismos no han de ser necesariamente invertibles, y restricciones adicionales (continuidad, graduación, estructura involutiva) son hipótesis extra.

Tensión semántica

Tensión con homomorfismo: todo endomorfismo es un homomorfismo pero no todo homomorfismo es endomorfismo, porque los homomorfismos suelen mapear entre objetos distintos; existe también confusión con endomapas arbitrarios.

Síntesis

Un endomorfismo es una autoaplicación que preserva la estructura de un objeto algebraico y cuya álgebra de composición refleja operaciones internas, simetrías y comportamientos funcionales sin exigir invertibilidad.