Un semigrupo provisto de un elemento identidad; un monoide es un conjunto con una operación binaria asociativa y un elemento neutro 1 tal que 1·a = a·1 = a para todo a.

Principio

Añade la existencia de identidad al conjunto de axiomas del semigrupo: asociatividad más un elemento neutro bilateral organiza la composición sin requerir inversos para elementos generales.

Demostración

Los números naturales con cero bajo la suma (N, +, 0) forman un monoide conmutativo: la suma es asociativa y 0 es el elemento neutro; las cadenas (incluida la cadena vacía) bajo concatenación constituyen un monoide no conmutativo.

Aplicación incorrecta

Asumir que todo elemento de un monoide es invertible y tratar el monoide como un grupo; esto conduce a aplicar cancelaciones inválidas y a suponer erróneamente que ecuaciones ax = b siempre son resolubles.

Consecuencia

Los monoides permiten acciones sobre conjuntos, constituyen estructuras algebraicas presentables y dan lugar a álgebras de monoide; adosar identidad a un semigrupo produce un monoide y muchos modelos computacionales son naturalmente monoídicos.

Inversión

Exigir inversos para cada elemento eleva un monoide a un grupo, fortaleciendo la resolubilidad de ecuaciones; suprimir la identidad reduce a un semigrupo, perdiendo el elemento neutro canónico y ciertas propiedades categóricas.

Límite

Los monoides no tienen por qué ser conmutativos ni disponer de inversos; se diferencian de los grupos en la ausencia de invertibilidad garantizada y de las categorías en que hay que generalizar para ver un monoide como categoría con un objeto.

Tensión semántica

Tensión terminológica con semigrupo y con los calificativos 'unitario' o 'unital'; algunos autores usan semigrupo con identidad y monoide indistintamente — el contexto y los axiomas despejan la ambigüedad.

Síntesis

Un monoide es una estructura algebraica asociativa con un elemento neutro distinguido: formaliza la composición cuando existe identidad sin exigir invertibilidad, enlazando la teoría de semigrupos y la de grupos.