Una estructura algebraica formada por un grupo abeliano (el grupo aditivo subyacente) junto con una acción de un anillo R (con unidad) sobre ese grupo que satisface distributividad, asociatividad con la multiplicación del anillo y la acción del elemento unidad; un módulo es la generalización de un espacio vectorial en la que los escalares provienen de un anillo en vez de de un cuerpo.

Principio

Sustituir el cuerpo de escalares por un anillo: la multiplicación por escalares solo debe cumplir los axiomas de módulo, de modo que las combinaciones lineales siguen siendo significativas pero pueden fallar propiedades que dependen de la invertibilidad de escalares (existencia de bases, teoría de la dimensión).

Demostración

Un ejemplo importante es considerar un grupo abeliano como módulo sobre Z: cualquier grupo abeliano A tiene multiplicación por escalares n·a definida por sumas repetidas, lo que convierte a A en un módulo sobre los enteros Z. Otro ejemplo es R^n como módulo (izquierdo) sobre cualquier anillo R.

Aplicación incorrecta

Asumir que todo módulo tiene una base y una dimensión bien definida como en los espacios vectoriales, o suponer que los submódulos de un módulo libre son libres sobre cualquier anillo; estas afirmaciones son falsas sin hipótesis adicionales sobre el anillo.

Consecuencia

Los módulos proporcionan el contexto adecuado para el álgebra lineal sobre anillos, el álgebra homológica (sucesiones exactas, Ext, Tor) y la teoría de representaciones sobre anillos; permiten formular generadores, relaciones, módulos finitamente generados y distinguir projectivos, inyectivos y planos.

Inversión

Un espacio vectorial es el caso particular en que el anillo de escalares es un cuerpo; entonces la invertibilidad de los escalares garantiza la existencia de bases y una teoría de la dimensión más rígida en el caso finito-dimensional.

Límite

Requiere un anillo asociativo con unidad que actúe sobre un grupo abeliano; excluye estructuras con multiplicación escalar no asociativa o acciones por semirredes sin inversos aditivos, a menos que se especifiquen esos contextos distintos.

Tensión semántica

La tensión proviene de la comparación entre módulo y espacio vectorial: muchas intuiciones de los cuerpos (bases, dimensión) no se trasladan, y existe asimismo tensión entre módulos libres, proyectivos y planos, cuyas propiedades pueden diferir formalmente.

Síntesis

Un módulo es un grupo aditivo dotado de una acción compatible de un anillo, generalizando los espacios vectoriales y constituyendo el objeto fundamental para construcciones lineales sobre anillos, donde la existencia de bases y la noción de dimensión dependen de propiedades específicas del anillo.