Un dominio de ideales principales (PID) es un dominio íntegro en el que todo ideal se genera por un solo elemento.

Principio

Los ideales son principales: cada ideal I puede escribirse como (a) = {a·r : r en R} para algún a del dominio, lo que simplifica la teoría de ideales y las cuestiones de factorización.

Demostración

Los enteros Z son un PID: todo ideal es mZ para algún entero m; los anillos de polinomios en una variable sobre un cuerpo son también PIDs, permitiendo el cálculo explícito de máximos comunes divisores y factorizaciones.

Aplicación incorrecta

Suponer la propiedad PID para anillos de polinomios multivariables o dominios íntegros arbitrarios; por ejemplo Z[x] no es un PID aunque Z lo sea, por lo que la generación por un solo elemento falla en general.

Consecuencia

Se derivan muchos resultados estructurales: los PID son dominios de factorización única, los módulos torsión finitamente generados admiten descomposiciones explícitas, y la comprobación de pertenencia de ideales y el cálculo de mcd se vuelven tratables.

Inversión

Un dominio íntegro en el que algunos ideales necesitan múltiples generadores; tales anillos carecen de las simplificaciones de la generación principal y pueden tener retículos de ideales y comportamiento de factorización más complicados.

Límite

Se define solo entre dominios íntegros (anillos conmutativos unitarios sin divisores de cero); ser PID es más fuerte que ser UFD y, en general, más débil que ser euclidiano — las implicaciones inversas dependen de estructuras adicionales.

Tensión semántica

Relación estrecha con dominio euclidiano y UFD: los dominios euclidianos son PIDs y los PIDs son UFDs, pero las recíprocas no siempre se cumplen; es esencial distinguir qué propiedades adicionales existen.

Síntesis

Un PID es un dominio íntegro en el que cada ideal se genera por un único elemento, proporcionando una teoría de ideales manejable que conduce a factorización única y facilita la clasificación de módulos finitamente generados.