Una estructura algebraica asociativa formada por un conjunto equipado con dos operaciones binarias, suma y multiplicación, donde la suma constituye un grupo abeliano, la multiplicación es asociativa y la multiplicación se distribuye sobre la suma; la existencia de identidad multiplicativa puede o no asumirse según la convención.

Principio

Organización en dos niveles: un grupo aditivo abeliano aporta estructura de tipo lineal mientras que una ley multiplicativa asociativa interactúa mediante la distributividad para posibilitar ideales, homomorfismos, cocientes y la teoría de módulos; se admite la falta de conmutatividad o de inversos multiplicativos y esto moldea la clase de ejemplos.

Demostración

Z, los enteros, forman un anillo conmutativo con unidad; M_n(R), las matrices n×n sobre un anillo R, forman un anillo (generalmente no conmutativo) con suma y multiplicación matriciales; los anillos de polinomios R[x] proporcionan familias de anillos para construir objetos algebraicos y cocientes.

Aplicación incorrecta

Asumir que los anillos siempre tienen inversos multiplicativos para todos los elementos no nulos (confundir anillo con cuerpo), o asumir la conmutatividad de la multiplicación; suponer que los ideales son automáticamente principales o ignorar la existencia de divisores de cero en anillos concretos como Z/nZ cuando n es compuesto.

Consecuencia

Los anillos constituyen el contexto para módulos, ideales, anillos cociente y construcciones homológicas; sirven como álgebras de coordenadas en geometría y como operadores en teoría de representaciones, y sus propiedades (Noetheriano, ideal principal, simple) determinan gran parte de la teoría algebraica basada en ellos.

Inversión

Un cuerpo (todo elemento no nulo es invertible) o un álgebra no asociativa (renuncia a la asociatividad) contrastan con la noción de anillo; un rng es un anillo sin unidad, subrayando que la presencia de 1 es una propiedad dependiente de la convención.

Límite

Aquí el término designa anillos asociativos; quedan excluidas estructuras no asociativas (p. ej. álgebras alternativas, anillos de Lie). Debe especificarse si existe identidad multiplicativa y si el anillo es conmutativo; la característica del anillo base es relevante para el comportamiento algebraico.

Tensión semántica

Tensión entre concebir el anillo como objeto puramente algebraico y concebirlo como un álgebra sobre otro anillo o como anillo topológico/gradado en contextos funcionales y homológicos; también tensión entre la teoría de anillos conmutativos y la teoría no conmutativa que siguen métodos y metas diferentes.

Síntesis

Un Anillo es un sistema algebraico asociativo de dos operaciones donde un grupo aditivo abeliano interactúa con una estructura multiplicativa asociativa mediante la distributividad, proporcionando el marco básico para ideales, módulos y construcciones algebraicas en aritmética, geometría y teoría de representaciones.