Ein Diagramm-Schluss, der besagt, dass in einem kommutativen Diagramm aus zwei exakten Zeilen mit je fünf Objekten, wenn vier der fünf vertikalen Abbildungen Isomorphismen sind (oder unter den üblichen Mono/Epi-Voraussetzungen), auch die verbleibende mittlere Abbildung ein Isomorphismus ist.

Prinzip

Exaktheit der Zeilen und Kommutativität zwingen Kerne und Kokerne zusammenzupassen; wenn genügend benachbarte vertikale Abbildungen Isomorphismen sind, dann sind die induzierten Abbildungen auf Kernen und Kokernen Isomorphismen, und damit muss die mittlere Abbildung durch Diagrammverfolgung ein Isomorphismus sein.

Demonstration

In der Kategorie der abelschen Gruppen betrachtet man ein kommutatives Diagramm A1→A2→A3→A4→A5 mit exakten Zeilen und vertikalen Abbildungen f_i. Sind f1,f2,f4,f5 Isomorphismen, so ergibt die Verfolgung von Kernen und Kokernen entlang der Zeilen, dass f3 ein Isomorphismus ist. Eine gebräuchliche Variante nimmt an, dass f1 und f5 Isomorphismen sind, f2 surjektiv und f4 injektiv, um f3 als Isomorphismus zu folgern.

Fehlanwendung

Die Anwendung des Fünf-Lemmas bei nicht exakten Zeilen, nicht kommutativen Diagrammen oder in Kategorien ohne Kerne/Kokerne führt zu falschen Schlüssen; das Lemma rein formal ohne Prüfung der Mono/Epi-Annahmen in nichtabelschen Kontexten anzuwenden ist ein häufiger Fehler.

Konsequenz

Ermöglicht das Übertragen von Isomorphieinformation entlang eines exakten Diagramms und ist ein zentrales Werkzeug, um zu zeigen, dass induzierte Abbildungen zwischen abgeleiteten Objekten Isomorphismen sind, wenn die umgebenden Abbildungen es sind.

Umkehrung

Die Umkehrung — aus einem zentralen Isomorphismus Isomorphismen der Nachbarabbildungen abzuleiten — gilt ohne zusätzliche Informationen nicht; das Fehlen von Exaktheit oder eines Isomorphismus kann die Kette unterbrechen.

Abgrenzung

Erfordert zwei kommutative, exakte Zeilen und eine Kategorie mit wohldefinierten Kernen und Kokernen (typischerweise abelsche Kategorien). Er gilt nicht unverändert in rein nichtabelschen Situationen ohne Neuinterpretation.

Semantische Spannung

Verwandte Resultate sind das Vier-Lemma und das Neun-Lemma; die Spannung besteht zwischen Varianten, die explizite Mono/Epi-Bedingungen verlangen, und der vereinfachten Aussage „vier Isomorphismen implizieren den fünften“, welche in manchen Darstellungen notwendige Nebenbedingungen verschleiern kann.

Synthese

Das Fünf-Lemma ist ein diagrammverfolgender Prüfstein in exakten Folgen: wenn ein kommutatives Diagramm exakte Zeilen hat und die umgebenden Abbildungen genügend Isomorphismen (oder Mono/Epi-Eigenschaften) besitzen, so ist die mittlere Abbildung ein Isomorphismus, womit Isomorphieinformation durch das Diagramm übertragen werden kann.