Ein Satz der endlichen Gruppentheorie, der besagt, dass jede endliche Gruppe, deren Ordnung von höchstens zwei verschiedenen Primzahlen geteilt wird, also die Form p^a q^b hat, eine auflösbare (solvable) Gruppe ist.

Prinzip

Die Einschränkung auf höchstens zwei verschiedene Primteiler der Gruppenordnung zwingt strukturelle Beschränkungen (über Sylow‑Untergruppen, ihre Normalisatoren und kombinatorische/charaktertheoretische Argumente), die das Auftreten nichtabelscher einfacher Faktoren ausschließen und so Lösbarkeit erzwingen.

Demonstration

Konkretes Beispiel: Jede Gruppe der Ordnung 18 = 2 · 3^2 ist auflösbar; die Analyse der Sylow‑2‑ und Sylow‑3‑Untergruppen und ihrer Wechselwirkung liefert eine nichttriviale normale Reihe mit abelschen Faktoren.

Fehlanwendung

Den Satz auf Gruppen mit drei verschiedenen Primfaktoren oder auf unendliche Gruppen anwenden; etwa ohne weitere Prüfung von einer Gruppe der Ordnung pqr auf Lösbarkeit zu schließen ist unzulässig.

Konsequenz

Ist der Satz anwendbar, so schließt er nichtabelsche einfache Gruppen dieser Ordnung aus und erlaubt die Konstruktion expliziter Normalreihen, was Klassifikations‑ und Darstellungssätze für die betreffenden endlichen Gruppen vereinfacht.

Umkehrung

Die Umkehrung ‚jede auflösbare endliche Gruppe hat Ordnung p^a q^b‘ ist falsch: Lösbarkeit impliziert nicht die Beschränkung auf zwei Primteiler, daher führt die Umkehrung zu einem irreführenden Kriterium.

Abgrenzung

Gilt nur für endliche Gruppen und nur bei Ordnungen mit höchstens zwei verschiedenen Primteiler; Ordnungen mit drei oder mehr Primteilen sowie weitergehende Strukturfragen bleiben ausgeschlossen.

Semantische Spannung

Wird oft mit anderen Burnside‑Aussagen oder Varianten verwechselt, die zusätzliche Voraussetzungen benötigen; die Spannung liegt zwischen der rein zahlentheoretischen Hypothese und den tieferen darstellungs‑ oder kombinatorischen Argumenten zur Begründung der Lösbarkeit.

Synthese

Burnsides P^a Q^b‑Satz verbindet eine einfache arithmetische Beschränkung der Gruppenordnung mit einer starken strukturellen Folgerung: Zwei verschiedene Primteiler genügen, um die Existenz einer normalen Struktur zu erzwingen, die Lösbarkeit bewirkt.