Ein noetherscher lokaler Ring (R, m), dessen Krull-Dimension gleich der minimalen Anzahl von Erzeugern des maximalen Ideals m ist; äquivalent besitzt R eine endliche globale (homologische) Dimension gleich dieser Krull-Dimension.

Prinzip

Regularität ist durch die Gleichheit von intrinsischer geometrischer Dimension (Krull-Dimension) und Einbettungsdimension (minimale Anzahl von Erzeugern von m) strukturiert; diese Gleichheit spiegelt homologische Endlichkeit und das Fehlen bestimmter Relationen wider.

Demonstration

Der formale Potenzreihenring k[[x1,...,xn]] oder die Lokalisierung k[x1,...,xn]_{(x1,...,xn)} sind reguläre lokale Ringe der Dimension n: ihr maximales Ideal wird von den Koordinatenparametern erzeugt und die globale homologische Dimension ist n.

Fehlanwendung

Zu behaupten, ein Ring sei regulär, weil sein maximales Ideal von n Elementen erzeugt werden kann, ohne die noethersche Voraussetzung oder die Gleichheit mit der Krull-Dimension zu prüfen; ein reguläres Element oder eine reguläre Folge mit dem Ring selbst zu verwechseln.

Konsequenz

Moduln über einem regulären lokalen Ring haben endliche projektive Dimensionen, beschränkt durch die Ringdimension; reguläre lokale Ringe sind Cohen–Macaulay und ihr Spektrum ist am abgeschlossenen Punkt glatt, wodurch Deformations- und Schnittverhalten berechenbar wird.

Umkehrung

Ein irregulärer (singulärer) lokaler Ring hat eine Einbettungsdimension, die strikt größer ist als seine Krull-Dimension; solche Ringe zeigen homologische Probleme (für manche Moduln unendliche projektive Dimensionen) und modellieren lokale Singularitäten.

Abgrenzung

Gilt nur für noethersche lokale Ringe; schließt nicht-noethersche Ringe, nicht-lokale Ringe (außer bei Anwendung auf jede Lokalisierung in maximalen Idealen) und Aussagen über globale Glattheit nicht-affiner Schemata ohne lokale Überprüfung aus.

Semantische Spannung

Der Begriff 'regulär' wird in verschiedenen Kontexten (z. B. glatte Mannigfaltigkeiten) anders verwendet; hier meint er eine präzise homologische/geometrische Gleichheit, nicht eine allgemein positive Eigenschaft.

Synthese

Ein regulärer lokaler Ring ist ein noethersches lokales Modell, dessen Dimension mit der minimalen Anzahl lokaler Parameter übereinstimmt bzw. durch endliche homologische Dimension charakterisiert ist; er steht algebraisch für einen nicht-singulären Punkt.