Eine Varietät oder ein Schema, das nicht normal ist, d. h. an manchen Stellen sind die lokalen Ringe nicht integralschlossen in ihrem gesamten Quotientenring. Nichtnormalität führt zu verzweigungsartigen Phänomenen, Ausfällen der Integralschließung und kann sich als Cusp, Pinch-Point oder subtilere Nicht-Integralschließungen in Kodimension eins zeigen.

Prinzip

Normalität ordnet geometrische Kohärenz durch Forderung der Integralschließung der lokalen Ringe; (nach Serre) ist Normalität äquivalent zu R_1 (Regulärität in Kodimension eins) plus S_2 (Tiefebedingung). Das Versagen der Integrität in lokalen Ringen führt dazu, dass die Normalisierung Zweige trennt und Schwierigkeiten in der Divisorentheorie entstehen.

Demonstration

Klassisches Beispiel: die Cusp-Spitze Spec k[t^2,t^3] ist nicht normal, weil t ganz über k[t^2,t^3] ist, aber nicht im Ring liegt; die Normalisierung ist Spec k[t], die die parametrische Gerade trennt. Ein Pinch-Point ist ein weiteres Beispiel, bei dem die Normalisierung den nicht integralschlossenen lokalen Ring durch seinen Integralschluss ersetzt und Zweige trennt oder glättet.

Fehlanwendung

Fälschlicherweise 'nicht normal' gleichbedeutend mit 'singulär' oder 'reduzibel' zu setzen. Ein Schema kann singulär sein und trotzdem normal in höheren Dimensionen, oder reduziert, aber nicht normal. Nichtreducedheit mit Nichtnormalität zu verwechseln ist häufig: ein reduziertes Schema kann dennoch nicht integralschlossen sein.

Konsequenz

Nichtnormalität beeinflusst die Divisorenklassengruppe, die Unterscheidung Weil-/Cartier-Divisoren und das Verhalten von Garben: reflexive Garben und dualisierende Komplexe verhalten sich anders auf dem nicht normalen Ort. Die Normalisierung ändert die Topologie und kann Zweige trennen, was numerische und kategorische Invarianten verändert.

Umkehrung

Eine normale Varietät hat überall integralschlossene lokale Ringe; ihre lokalen Ringe in Kodimension eins sind regulär und die Divisorentheorie ist berechenbarer (Weil-Divisoren stehen näher an Cartier-Divisoren). Normalität beseitigt verzweigungsartige Phänomene, die aus dem Versagen der Integralschließung resultieren.

Abgrenzung

Der Begriff ist am aussagekräftigsten für integrale oder reduzierte Schemata von endlichem Typ; bei reduzierbaren Schemata prüft man Normalität komponentenweise. Bei nichtnoetherschen Ringen und bestimmten nicht reduzierten Beispielen ist Vorsicht geboten: Integralschluss kann subtil sein und die üblichen Äquivalenzen (Serres Kriterium) benötigen noethersche Voraussetzungen.

Semantische Spannung

Nahe Begriffe sind 'regulär', 'normal' und 'reduziert'. Oft werden 'nicht normal' und 'singulär' oder 'nicht reduziert' verwechselt; die Spannung liegt darin, dass Normalität eine Integritätsbedingung ist, während Glattheit/Regulärität differentielle Bedingungen sind und Reduziertheit das Fehlen von Nilpotenten betrifft.

Synthese

Eine Nichtnormale Varietät ist dadurch gekennzeichnet, dass die lokale Algebra Integralschluss vermissen lässt: lokal liegt ein Element, das integral über den Ring ist, nicht im Ring, was verzweigungsartige Phänomene erzeugt, die durch die Normalisierung behoben werden und konkrete Folgen für Divisoren und die geometrische Topologie haben.