Die Operation, die ein Element x einer algebraischen Struktur (typischerweise einer Gruppe oder eines gruppenähnlichen Objekts) auf sein Konjugiertes g x g^{-1} durch ein anderes Element g abbildet und somit die innere Symmetrie durch innere Automorphismen beschreibt.

Prinzip

Konjugation ordnet Elemente in Bahnen unter der Wirkung der Struktur auf sich selbst durch innere Automorphismen; Elemente in derselben Bahn sind bezüglich der inneren Symmetrie äquivalent.

Demonstration

In der symmetrischen Gruppe S_3 liefert die Konjugation der Transposition (1 2) durch den 3-Zyklus (1 2 3) das Element (1 3): (1 2 3)(1 2)(1 2 3)^{-1} = (1 3). Bei 2×2-invertierbaren Matrizen ist Konjugation durch P die Similaritätstransformation P A P^{-1}, die Eigenwerte erhält.

Fehlanwendung

Konjugation als kommutative Operation zu behandeln oder anzunehmen, dass g x g^{-1} = x für beliebiges g gilt; dies übersieht, dass Konjugation x im Allgemeinen verändert, sofern x nicht zentral ist. Eine Fehlanwendung ist das unkritische Übertragen von Gruppen-Konjugationsformeln auf nichtinvertierbare lineare Abbildungen.

Konsequenz

Korrekt angewandt identifiziert Konjugation zentrale Elemente (fest durch alle Konjugationen), gliedert die Struktur in Konjugationsklassen, die in Zähl- und Darstellungstheorie wichtig sind, und erzeugt innere Automorphismen, die vielerlei Invarianten bewahren.

Umkehrung

Anstatt Elemente durch Konjugation zu verschieben, untersucht man Zentralisatoren und Fixmengen: Die Umkehr ist das Auffinden von Elementen, die durch alle Konjugationen festgelassen werden (das Zentrum) anstelle der Bewegung von Elementen.

Abgrenzung

Definiert überall dort, wo das konjugierende Element ein Inverses besitzt (Gruppen, geeignete Gruppoide, Einheiten in Ringen, invertierbare Matrizen). Nicht direkt definiert für allgemeine Halbgruppen ohne Inversen; in Lie-Algebren entspricht das Analogon der adjungierten Wirkung (ad) und nicht einer multiplikativen Konjugation.

Semantische Spannung

Konjugation (innere Wirkung) unterscheidet sich von Äquivalenzbegriffen wie Isomorphie außerhalb des inneren Kontextes: Für Matrizen ist Similarität Konjugation, doch auf höherer Ebene kann 'Konjugation' mit verschiedenen Äquivalenzbegriffen kollidieren (innerer Automorphismus vs Isomorphismus).

Synthese

Konjugation ist die innere Symmetrieoperation g: x ↦ g x g^{-1}, die Elemente in Konjugationsklassen zusammenfasst, Zentralität detektiert und innere Automorphismen liefert, welche die Strukturinvarianten bewahren und zeigen, wie Elemente unter der Eigen-Symmetrie der Struktur transformieren.