Eine Gruppe, die eine endliche Kette von Untergruppen besitzt, wobei jede in der nächsten normal ist (eine subnormale Reihe) und die aufeinanderfolgenden Faktorgruppen abelsch sind.

Prinzip

Die Gruppe durch sukzessive normale Reduktionen so ordnen, dass bei jedem Schritt die nichtkommutative Struktur auf einen abelschen Quotienten reduziert wird; Auflösbarkeit bedeutet, dass dieser Prozess in endlicher Zeit zur trivialen Gruppe führt.

Demonstration

Die symmetrische Gruppe S3 hat die Kette {e} ⊲ A3 ⊲ S3 mit Faktoren A3/{e} ≅ C3 und S3/A3 ≅ C2, beide abelsch, also ist S3 auflösbar; im Gegensatz dazu besitzt A5 keine solche endliche Reihe abelscher Quotienten und ist nicht auflösbar.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jede endliche Gruppe sei auflösbar oder Auflösbarkeit sei gleichbedeutend mit Abelschheit — beides ist falsch: Viele nichtabelsche Gruppen sind auflösbar, und einige endliche einfache Gruppen sind nicht auflösbar.

Konsequenz

Ist eine Gruppe auflösbar, so kann man ihre Struktur schrittweise über abelsche Quotienten analysieren; Auflösbarkeit schränkt die möglichen Kompositionsfaktoren ein und beeinflusst Anwendungen wie die Lösbarkeit von Gleichungen in der Galoistheorie.

Umkehrung

Eine nicht auflösbare Gruppe lässt sich nicht durch eine endliche subnormale Reihe in abelsche Quotienten zerlegen; ihre minimalen normalen Untermengen enthalten nichtabelsche einfache Gruppen.

Abgrenzung

Gilt für Gruppen mit Untergruppen- und Normalitätsbegriff; die Definition verlangt gewöhnlich eine endliche subnormale Reihe für endliche Gruppen, während bei unendlichen Gruppen die Endlichkeit der Länge oder transfinite Reihen zu spezifizieren ist — Unterscheidung zwischen endlicher abgeleiteter Länge und anderen Varianten wichtig.

Semantische Spannung

Wird oft mit nilpotenten oder supersolublen Gruppen verwechselt; nilpotent impliziert auflösbar, ist jedoch stärker, während 'einfach' als Gegenbegriff steht, weil nichtabelsche einfache Gruppen die minimalen Hindernisse für Auflösbarkeit darstellen.

Synthese

Eine auflösbare Gruppe ist eine, die sich durch sukzessive normale Quotienten so schälen lässt, dass jede Schicht abelsch ist, wodurch eine schrittweise abelianisierte Zerlegung der Gruppenstruktur entsteht.