## [Dualité D'Artin–Verdier](/fr/node/64073) Définition Un théorème de dualité en cohomologie étale pour les schémas arithmétiques qui généralise la dualité de Poincaré : il met en relation la cohomologie à support compact d'un schéma avec la cohomologie galoisienne de son corps de fonctions et identifie des accouplements parfaits naturels entre groupes de cohomologie et duaux arithmétiques tels que les modules de Tate ou le groupe de Brauer. ## Principe Principe L'information cohomologique d'un schéma arithmétique se met en paire avec des invariants arithmétiques duaux via une fonctorialité global-locale ; les dualités locales et la réciprocité globale s'assemblent pour produire des accouplements parfaits après changements de degrés et contrôle des torsions. ## Démonstration Démonstration Pour un schéma arithmétique régulier et propre X de dimension d, la dualité d'Artin–Verdier fournit des accouplements H^i_c(X_et,F) × H^{2d+2-i}(X_et,F^*) → Q/Z pour des faisceaux étales finis F, identifiant explicitement les groupes finis et leurs duaux de Pontryagin et montrant comment la dualité de Tate locale contribue à l'accouplement global. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer la dualité d'Artin–Verdier comme une dualité de Poincaré purement topologique et l'appliquer à des schémas sans tenir compte des torsions arithmétiques, de la non-propreté ou des twists de Tate requis ; on obtient alors des identifications d'accouplements erronées ou on oublie des restrictions sur les coefficients. ## Conséquence Conséquence Appliquée correctement, elle organise la cohomologie arithmétique en paires duales, limite l'existence de classes cohomologiques (par exemple en contrôlant le groupe de Brauer) et fournit le cadre formel pour des résultats de dualité arithmétique et des lois de réciprocité utilisés en descente et en théorie des obstructions. ## Inversion Inversion La version inversée consisterait à tenter de reconstruire des dualités locales à partir d'un prétendu accouplement global sans vérifier la compatibilité des contributions locales ni l'exactitude des propriétés nécessaires pour recoller les accouplements locaux en un accouplement parfait global. ## Limite Limite S'applique aux schémas arithmétiques munis de la topologie étale, à des coefficients finis et constructibles et sous des hypothèses de finitude appropriées (par exemple la propreté ou le contrôle de la cohomologie à support compact) ; exclut les analogues topologiques naïfs, les modules infinis sans twists de Tate et les situations dépourvues des complexes dualisants requis. ## Tension sémantique Tension sémantique Entre en tension avec le langage de la dualité de Poincaré : les deux affirment des accouplements entre degrés complémentaires, mais Artin–Verdier incorpore des phénomènes arithmétiques (actions galoisiennes, torsion, réciprocité) qui rendent ses énoncés et hypothèses différents de la dualité purement topologique. ## Synthèse Synthèse La dualité d'Artin–Verdier est l'analogue arithmétique de la dualité de Poincaré en cohomologie étale : en combinant dualités locales et réciprocité globale, elle produit des accouplements parfaits entre cohomologie à support compact et groupes duaux arithmétiques, sous des conditions de finitude et de twist reflétant la torsion arithmétique.