## [Théorème d'Atiyah–Singer](/fr/node/64065) Définition Un théorème qui identifie l'indice analytique d'un opérateur différentiel elliptique sur une variété compacte (l'indice de Fredholm mesurant la différence de dimensions du noyau et du conoyau) à un indice topologique calculé à partir des classes caractéristiques du symbole de l'opérateur en K-théorie, reliant ainsi l'analyse, la topologie et la K-théorie algébrique. ## Principe Principe L'indice analytique d'un opérateur elliptique ne dépend que de la classe en K-théorie de son symbole principal ; cette classe se paire aux classes caractéristiques de la variété pour produire un nombre topologique calculable égal à l'indice analytique de Fredholm. ## Démonstration Démonstration Sur une variété spin compacte, l'opérateur de Dirac est elliptique ; son indice analytique coïncide avec le genre  (A-hat) de la variété, calculable à partir des classes de Pontryagin. Cette égalité calcule la différence de dimensions des spineurs harmoniques à partir de données purement topologiques. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer le théorème à des opérateurs non elliptiques, à des opérateurs sur des variétés non compactes sans conditions aux limites adaptées, ou assimiler des invariants analytiques dépendant de la métrique (par exemple des valeurs propres) à l'indice topologique. ## Conséquence Conséquence Fournit un pont permettant de calculer des invariants analytiques (indices d'opérateurs PDE, existence de solutions) par des méthodes topologiques ; impose des contraintes fortes en géométrie, topologie et physique mathématique (par exemple formules d'indice pour anomalies). ## Inversion Inversion En sens inverse, les données topologiques d'indice ne déterminent pas le spectre complet d'un opérateur ; de même, des données spectrales analytiques fines peuvent varier alors que l'indice topologique reste invariant. ## Limite Limite Valable pour des opérateurs différentiels elliptiques (ou pseudo-différentiels elliptiques appropriés) sur des variétés compactes éventuellement munies de conditions aux limites ; exclut les équations non elliptiques, les opérateurs de rang infini sans propriété de Fredholm, et les grandeurs analytiques au-delà de l'indice sans hypothèses supplémentaires. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre la notion analytique d'indice (mise en place analytique, dépendante de la théorie de Fredholm) et la notion topologique (classe en K-théorie et classes caractéristiques) ; confusion possible entre l'indice et des invariants spectraux plus fins comme les invariants eta. ## Synthèse Synthèse Le théorème d'Atiyah–Singer affirme que l'indice de Fredholm d'un opérateur elliptique est égal à un appariement topologique de la classe de son symbole en K-théorie avec des classes caractéristiques de la variété, unifiant les perspectives analytiques, topologiques et algébriques et rendant l'indice calculable par des moyens topologiques.