## [Théorie de Galois](/fr/node/64043) Définition L’étude de la relation entre extensions de corps et groupes d’automorphismes du corps qui permutent les racines algébriques, produisant une correspondance entre corps intermédiaires et sous-groupes d’un groupe d’automorphismes et reliant des questions de résolubilité à des propriétés groupiques. ## Principe Principe La normalité et la séparabilité d’une extension engendrent un groupe d’automorphismes dont le treillis des sous-groupes reflète le treillis des corps intermédiaires ; la correspondance de Galois associe à un sous-groupe son corps fixe et à un corps intermédiaire le sous-groupe correspondant, organisant la structure d’extension par la symétrie. ## Démonstration Démonstration Démonstration classique : pour une extension finie séparable normale E/F (extension de Galois), il existe une bijection entre corps intermédiaires K (F ⊂ K ⊂ E) et sous-groupes H ≤ Gal(E/F), donnée par K ↦ Gal(E/K) et H ↦ E^H (le corps fixe). Scénario concret : le corps de décomposition de x^3−2 sur Q a pour groupe de Galois S_3 et des corps intermédiaires correspondant aux sous-groupes, ce qui explique la résolubilité par radicaux ou son absence. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que toute extension algébrique est de Galois et possède donc une correspondance sous-groupe–corps nette ; ignorer l’inséparabilité en caractéristique positive ; ou traiter le groupe de Galois seulement comme un groupe de permutations de racines énumérées sans tenir compte des automorphismes de corps et de la topologie dans le cas infini. ## Conséquence Conséquence Lorsque la théorie s’applique, elle ramène des problèmes de corps à la théorie des groupes : classification des extensions, détermination de la résolubilité par radicaux, construction explicite de résolvantes et utilisation d’invariants cohomologiques pour des problèmes d’obstruction. Elle motive aussi la topologie profinie en théorie de Galois infinie. ## Inversion Inversion L’inversion met l’accent sur la reconstruction des données de corps à partir de données groupiques ou cohomologiques : donné un groupe profini avec structure supplémentaire, on cherche à le réaliser comme groupe de Galois d’un corps ; l’inversion met en lumière des limites et des problèmes de rigidité (problème inverse de Galois). ## Limite Limite Concerne surtout les extensions séparables normales (de Galois) ; la théorie finie est la plus simple, tandis que les extensions infinies exigent des groupes profinis et la topologie de Krull. Exclut les extensions non séparables sans structure additionnelle, et la correspondance classique peut échouer ou se modifier en caractéristique positive ou pour des extensions non normales. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre la vision des groupes de Galois comme groupes de permutations d’ensembles de racines explicites et comme groupes d’automorphismes abstraits munis d’une topologie profinie. Il existe aussi des sens voisins dans la théorie de Galois différentielle ou les analogues géométriques/étales où les objets et symétries diffèrent bien que l’idée organisatrice persiste. ## Synthèse Synthèse La théorie de Galois relie extensions de corps et groupes de symétrie : quand normalité et séparabilité sont présentes, les corps intermédiaires correspondent aux sous-groupes d’automorphismes, permettant de traduire des problèmes algébriques en termes de groupes et de cohomologie et d’orienter solutions constructives et obstructions.