## [Anneau Non Noethérien](/fr/node/64003) Définition Un anneau (généralement commutatif et unitaire ici) qui ne satisfait pas la condition de chaîne ascendante sur les idéaux : il existe une suite strictement croissante infinie d'idéaux et des idéaux peuvent ne pas être engendrés finiment. ## Principe Principe Défaillance de la condition de stabilisation : il existe des chaînes d'idéaux arbitrairement longues, de sorte que les méthodes reposant sur la stabilisation (induction noethérienne, conséquences du théorème de la base de Hilbert) ne s'appliquent pas en général. ## Démonstration Démonstration L'anneau de polynômes en un nombre dénombrable de variables k[x1,x2,x3,...] sur un corps k est non noethérien car l'idéal (x1,x2,x3,...) n'est pas engendré finiment ; on construit explicitement la chaîne stricte (x1) ⊂ (x1,x2) ⊂ (x1,x2,x3) ⊂ ... ## Mauvaise application Mauvaise application Présumer l'existence d'ensembles de générateurs finis pour des idéaux arbitraires ou utiliser l'induction noethérienne sur un anneau non noethérien ; appliquer des décompositions primaires et d'autres résultats de finitude comme s'ils étaient universels. ## Conséquence Conséquence De nombreux résultats de finitude échouent : les idéaux et modules peuvent nécessiter des générateurs infinis, les chaînes ascendantes peuvent ne pas se stabiliser, la décomposition primaire peut faire défaut ou être non unique, et les constructions dépendant de la présentation finie deviennent invalides ou exigent des hypothèses supplémentaires. ## Inversion Inversion Un anneau noethérien, où chaque idéal est engendré finiment et chaque chaîne ascendante d'idéaux se stabilise, ce qui permet l'induction noethérienne et de nombreux théorèmes de finitude. ## Limite Limite Le concept concerne la condition de chaîne ascendante sur les idéaux au niveau de l'anneau ; il n'impose pas d'autres propriétés (par exemple artinien, cohérent ou des conditions sur la dimension). Le comportement non noethérien peut apparaître en contextes commutatifs et non commutatifs ; certaines pathologies requièrent une génération infinie alors que d'autres anneaux non noethériens conservent certaines propriétés de finitude. ## Tension sémantique Tension sémantique « Non noethérien » est souvent confondu avec « non engendré finiment comme algèbre » ou associé à des pathologies particulières ; la tension se situe entre la finitude au niveau des idéaux (noethérien) et d'autres notions de finitude (type fini, cohérence, artinien) qui sont distinctes et peuvent coexister différemment. ## Synthèse Synthèse Un Anneau Non Noethérien est un anneau où le principe de finitude pour les idéaux échoue : des exemples concrets montrent des chaînes croissantes infinies d'idéaux et des idéaux non engendrés finiment, ce qui impose de revoir ou de remplacer de nombreux outils algébriques standard fondés sur la noethérianité.