##  [Type Complet](/fr/node/63991) 

 Définition

Un type complet sur un ensemble de paramètres A est un ensemble cohérent maximal de formules du premier ordre à paramètres dans A : pour toute formule φ(x,a) avec a dans A, le type contient soit φ(x,a) soit sa négation, et l'ensemble reste cohérent avec la théorie T.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Maximalité relative à la cohérence : un type complet ne laisse aucune formule à paramètres dans A indécise, fournissant ainsi une description complète du premier ordre (relativement à A) de l'élément ou du n-uplet hypothétique.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans un corps algébriquement clos saturé, un 1-type complet sur un petit sous-ensemble A peut affirmer soit que l'élément est algébrique sur A (en incluant des égalités polynomiales), soit qu'il est transcendant (en incluant les non-annulations de polynômes), décidant ainsi toute formule à paramètres dans A.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre complétude et être isolé ou principal : un type complet n'est pas nécessairement engendré par une seule formule et peut ne pas être réalisé dans un modèle donné si le modèle n'est pas suffisamment saturé.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Connaître un type complet sur A détermine le diagramme élémentaire de l'élément relatif à A et contrôle comment l'élément peut être étendu ou déplacé par des automorphismes fixant A.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

L'inverse est un type partiel qui laisse certaines formules indécises, ce qui encode strictement moins d'information et peut correspondre à de nombreuses complétions non équivalentes.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

La complétude est relative à un ensemble de paramètres A et à un langage choisis ; un type complet sur A peut être incomplet sur un ensemble de paramètres plus large B ⊇ A, et la complétude est une notion propre au premier ordre.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

« Complet » concurrence avec d'autres usages (complétude métrique, clôture algébrique) ; en théorie des modèles il signifie maximalité syntaxique sous contrainte de cohérence, différente des notions topologiques ou algébriques.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Un type complet est un profil maximal et cohérent de formules du premier ordre sur des paramètres A qui décide chaque formule à ces paramètres, donnant un portrait définitif au premier ordre d'un élément hypothétique relatif à A.