##  [Sous-Structure Élémentaire](/fr/node/63984) 

 Définition

Une sous-structure A d'une structure B (dans le même langage du premier ordre) telle que pour toute formule du premier ordre φ(x1,...,xn) et tout n-uplet a de A, B ⊨ φ(a) si et seulement si A ⊨ φ(a). On note couramment A ≺ B.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'élémentarité exige un accord exact sur la vérité de toutes les formules du premier ordre avec paramètres issus de la petite structure ; elle est plus forte que l'être sous-structure et garantit la préservation complète de la structure logique par rapport aux paramètres de A.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Soit A une sous-modèle de B obtenue en fermant un ensemble sous les opérations définissables ; si toute formule avec paramètres de A vraie dans B est déjà vraie dans A, alors A est élémentaire dans B. Par exemple, toute structure s'identifie à une sous-structure élémentaire de sa ultraproduit via l'inclusion diagonale permise par le théorème de Łoś.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Considérer toute inclusion ou tout sous-ensemble induit comme élémentaire ; par exemple, penser que le corps des rationnels Q est une sous-structure élémentaire du corps des réels R pour le langage des anneaux est faux, puisque R réalise des assertions existentielles sur des racines que Q ne réalise pas.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Si A ≺ B, alors les types sur A réalisés dans B le sont déjà dans A lorsque ces types se décrivent par des formules avec paramètres dans A ; la conservation des satisfactions permet d'utiliser la compacité et des arguments aller-retour pour comparer des structures et construire des isomorphismes dans des contextes adaptés.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La notion opposée est la sous-structure non élémentaire : A ⊆ B qui est une sous-structure mais pour laquelle il existe une formule avec paramètres de A vraie dans B et fausse dans A. Cette inversion montre l'échec de la préservation même pour des formules existentielles ou universelles simples.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux langages du premier ordre et exige que les deux structures partagent le même langage et l'interprétation des symboles ; elle ne se généralise pas directement aux logiques d'ordre supérieur, aux sous-objets en théorie des catégories ou à la simple équivalence élémentaire sans application d'inclusion.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Conflit avec « équivalence élémentaire » (A ≡ B) où deux structures satisfont les mêmes phrases du premier ordre sans qu'il y ait nécessairement d'inclusion élémentaire ; une sous-structure n'est élémentaire que lorsque l'inclusion et la préservation des formules coïncident.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Une sous-structure élémentaire est un sous-modèle dont l'inclusion préserve la vérité de toute formule du premier ordre avec paramètres issus du sous-modèle, garantissant que le petit modèle est indiscernable logiquement du grand lorsqu'on ne peut référer qu'aux éléments du petit modèle.