## [Modèle](/fr/node/63976) Définition Une structure mathématique constituée d'un domaine et d'interprétations des symboles d'une signature formelle (constantes, fonctions, relations) qui rend vraies dans cette structure toutes les phrases d'une théorie donnée. ## Principe Principe Un modèle réalise sémantiquement des symboles syntaxiques : la vérité des phrases se juge en attribuant des significations aux symboles dans une structure concrète de sorte que les axiomes de la théorie soient satisfaits. ## Démonstration Démonstration L'ensemble G muni d'une opération binaire * et d'un élément identité e qui vérifie l'associativité, l'identité et l'existence d'inverses est un modèle de la théorie des groupes au premier ordre ; les entiers relatifs avec l'addition et zéro sont un modèle de la théorie des groupes abéliens. ## Mauvaise application Mauvaise application Considérer tout objet algébrique comme un modèle sans vérifier la signature complète ou en tolérant des opérations partielles (par exemple traiter un semi-groupe sans identité comme modèle des axiomes de groupe) constitue une mauvaise application. ## Conséquence Conséquence Identifier correctement les modèles permet de transférer des conséquences sémantiques aux structures concrètes, de produire des contre‑exemples à des propositions et de classifier des classes de structures par leurs théories. ## Inversion Inversion Plutôt que d'interpréter une théorie par une structure, on peut partir d'une théorie et rechercher les structures qui la réalisent ; dans l'extrême, une théorie sans modèles est inconsistante et la perspective sémantique s'effondre. ## Limite Limite S'applique aux structures dans un langage logique précisé (généralement du premier ordre) ; exclut les objets mathématiques informels ou insuffisamment spécifiés, les logiques non standards sauf mention contraire, et les structures partielles quand la totalité des opérations est exigée par la signature. ## Tension sémantique Tension sémantique La notion concurrente « structure algébrique » met l'accent sur les opérations et axiomes présentés comme objets, tandis que « modèle » insiste sur la satisfaction dans un domaine sémantique — la tension oppose présentation syntaxique et réalisation sémantique. ## Synthèse Synthèse Un modèle est l'incarnation sémantique d'une signature formelle et de ses phrases : en interprétant les symboles sur un domaine pour que les énoncés de la théorie soient vrais, il relie axiomes syntaxiques et structures concrètes et permet le raisonnement sémantique.