## [Suite de Mayer–Vietoris](/fr/node/63971) Définition Une suite exacte longue en homologie ou cohomologie dérivée d'un recouvrement d'un objet par deux sous-objets, reliant les invariants du tout à ceux des parties et de leur intersection et permettant des calculs par recollement de données locales. ## Principe Principe Décomposer un espace (ou complexe de chaînes, faisceau, etc.) en deux morceaux recouvrants ; la construction de Mayer–Vietoris fournit une application de connexion et une suite exacte exprimant l'homologie/cohomologie globale en fonction de celles des morceaux et de leur intersection. ## Démonstration Démonstration Calculer l'homologie singulière du cercle en le recouvrant par deux arcs contractiles qui se recouvrent : la suite de Mayer–Vietoris associée donne les relations exactes qui identifient l'homologie de degré un du cercle à Z en comparant les morceaux et leur intersection. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer la suite sans vérifier que le recouvrement ou la catégorie satisfait les hypothèses d'excision ou de recollement (par exemple en utilisant des recouvrements non ouverts en topologie sans contrôle) peut conduire à des conclusions fausses sur l'exactitude ou sur les groupes calculés. ## Conséquence Conséquence C'est un outil de calcul fondamental qui réduit des problèmes homologiques globaux à des calculs locaux, sous-tend l'excision, les arguments d'homologie relative et est central pour les constructions de suites spectrales et les calculs par descente. ## Inversion Inversion Inversement, l'échec de l'exactitude de Mayer–Vietoris pour un recouvrement donné signale que le recouvrement ne satisfait pas les hypothèses nécessaires ou que les invariants ne sont pas locaux sur ce recouvrement, indiquant des obstructions au recollement. ## Limite Limite Valable dans des catégories où les hypothèses de recollement et d'excision tiennent : espaces topologiques avec recouvrements ouverts adéquats, complexes de chaînes munis de suites exactes courtes, cohomologie de faisceaux sur des recouvrements satisfaisant des conditions d'aciclicité ; non applicable universellement à des décompositions arbitraires sans hypothèses. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre Mayer–Vietoris et les méthodes de Čech ou des suites spectrales : ce sont tous des outils de recollement mais diffèrent par les hypothèses, le degré de contrôle local et la convergence, donc le choix dépend de la catégorie et des conditions d'aciclicité/finition. ## Synthèse Synthèse La suite de Mayer–Vietoris est le mécanisme exact canonique pour reconstruire l'homologie ou la cohomologie d'un objet à partir de deux morceaux qui se recouvrent et de leur intersection, transformant des calculs locaux en invariants globaux lorsque les conditions d'excision et de recollement sont satisfaites.