## [Méthode de Reidemeister–Schreier](/fr/node/63961) Définition Une procédure constructive qui, à partir d'un groupe G à présentation finie et d'un transversal choisi des classes à gauche pour un sous-groupe H ≤ G, produit une présentation de H en réécrivant les générateurs et les relations de G par rapport au transversal. ## Principe Principe Réécrire les relateurs du groupe le long d'un transversal de classes afin d'exprimer les éléments du sous-groupe par des mots dans un nouvel ensemble de générateurs ; remplacer systématiquement les occurrences des générateurs originaux par leurs conjugués indexés par les représentants de classes pour obtenir les relations du sous-groupe. ## Démonstration Démonstration Partir de G = ⟨S | R⟩ et d'un sous-groupe d'indice 2 H donné comme noyau d'un homomorphisme vers C2 ; choisir des représentants de classes {1, t}, définir les générateurs de Schreier {t s t^{-1} ou s} pour s ∈ S et réécrire chaque r ∈ R en mots dans ces générateurs pour obtenir une présentation de H. ## Mauvaise application Mauvaise application Appliquer la procédure sans fixer de transversal ou lorsque G n'est pas à présentation finie peut conduire à des ensembles de générateurs ingérables ou infinis et à des affirmations erronées de présentation finie. ## Conséquence Conséquence Appliquée à un sous-groupe d'indice fini d'un groupe à présentation finie, la méthode fournit explicitement un ensemble fini de générateurs et des relateurs finis pour le sous-groupe, démontrant sa présentation finie et donnant un accès algorithmique à sa structure. ## Inversion Inversion Plutôt que d'obtenir une présentation du sous-groupe à partir de celle du groupe, on peut tenter de reconstruire une présentation du sur-groupe à partir de la présentation d'un sous-groupe et des données d'action sur les classes, ce qui inverse la direction de la réécriture et exige des données d'extension plutôt que de restriction. ## Limite Limite La méthode suppose une présentation du groupe ambiant et un choix de transversal de classes ; elle ne garantit pas des résultats finis pour des sous-groupes arbitraires (les sous-groupes d'indice infini peuvent engendrer une infinité de générateurs de Schreier) et ne se substitue pas aux résultats d'existence quand aucun transversal ou présentation finie n'est disponible. ## Tension sémantique Tension sémantique La tension apparaît entre cette approche combinatoire explicite de réécriture et les théorèmes d'existence plus abstraits (par exemple cohomologiques ou categorials) qui affirment des propriétés structurelles sans produire de générateurs et relateurs. ## Synthèse Synthèse La Méthode de Reidemeister–Schreier est un algorithme de réécriture concret qui transforme une présentation d'un groupe à présentation finie, munie d'un transversal de classes, en une présentation d'un sous-groupe, échangeant relateurs globaux contre générateurs et relateurs indexés qui codent la structure du sous-groupe.