##  [Lemme des Cinq](/fr/node/63956) 

 Définition

Un lemme de parcours de diagramme affirmant que, dans un diagramme commutatif composé de deux rangées exactes de cinq objets, si quatre des cinq flèches verticales sont des isomorphismes (ou sous les hypothèses mono/épi standard) alors la flèche verticale centrale est aussi un isomorphisme.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

L'exactitude des rangées et la commutativité contraignent les noyaux et conoyaux à coïncider ; lorsque suffisamment de flèches adjacentes sont des isomorphismes, les applications induites sur noyaux et conoyaux sont des isomorphismes et la flèche centrale l'est aussi par un parcours du diagramme en cinq termes.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans la catégorie des groupes abéliens, considérez un diagramme commutatif A1→A2→A3→A4→A5 avec des rangées exactes et des flèches verticales f_i. Si f1,f2,f4,f5 sont des isomorphismes, alors en parcourant noyaux et conoyaux le long des rangées on conclut que f3 est un isomorphisme. Une variante courante suppose que f1 et f5 sont des isomorphismes, f2 est surjective et f4 est injective pour conclure que f3 est un isomorphisme.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Employer le Lemme des Cinq lorsque les rangées ne sont pas exactes, que le diagramme ne commute pas, ou dans des catégories dépourvues de noyaux/conoyaux peut conduire à des conclusions fausses ; traiter le lemme comme purement formel sans vérifier les hypothèses mono/épi en contexte non abélien est une erreur fréquente.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Permet de transférer l'information d'isomorphisme à travers un diagramme exact étendu et est un outil clé pour prouver que des applications induites entre objets dérivés sont des isomorphismes lorsque la plupart des flèches environnantes le sont.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La converse — déduire des isomorphismes des flèches adjacentes à partir d'un isomorphisme central — ne tient pas sans informations complémentaires ; l'absence d'exactitude ou d'un isomorphisme manquant peut rompre la chaîne.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

Exige deux rangées commutatives et exactes et une catégorie offrant des noyaux et conoyaux bien définis (typiquement des catégories abéliennes). Il ne s'applique pas littéralement dans des contextes purement non abéliens sans réinterprétation.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Voisins proches : le Lemme des Quatre et le Lemme des Neuf ; la tension porte sur les variantes exigeant des conditions mono/épi explicites et l'énoncé abrégé « quatre isomorphismes impliquent le cinquième », qui peut masquer des hypothèses nécessaires dans certains textes.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Lemme des Cinq est un critère de parcours de diagramme pour suites exactes : quand un diagramme commutatif présente des rangées exactes et que les flèches environnantes sont suffisamment des isomorphismes (ou satisfont les variantes mono/épi), la flèche centrale est forcée d'être un isomorphisme, permettant de transférer l'information d'isomorphisme dans le diagramme.