##  [Théorème d'Intersection de Krull](/fr/node/63918) 

 Définition

Résultat structurel sur la topologie I-adique d'un anneau : sous des hypothèses standards (par exemple R noethérien et I contenu dans le radical jacobsonien, typiquement dans le cas local ou complet noethérien) l'intersection de toutes les puissances d'un idéal propre I, ⋂_{n≥1} I^n, est {0}. Le théorème précise quand l'application naturelle de R vers sa complétion I-adique est injective, c'est‑à‑dire quand R est séparé pour la topologie I-adique.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Séparation adique : les puissances décroissantes d'un idéal définissent une topologie I-adique et, sous noethéarité ou complétude, aucun élément non nul ne peut appartenir à toutes les puissances. Autrement dit, l'unique élément topologiquement indiscernable de zéro est zéro lui‑même.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : R = k[[x1,…,xr]] anneau des séries formelles sur un corps k et I = (x1,…,xr). Toute série non nulle a un terme de degré total minimal, elle ne peut donc appartenir à toutes les I^n ; ainsi ⋂ I^n = {0}. Cela montre la séparation I-adique dans des cas locaux complets réguliers.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prétendre que le théorème vaut pour des anneaux quelconques ou pour des idéaux non contenus dans le radical jacobsonien. Appliqué à un anneau non noethérien ou à un idéal qui ne définit pas la topologie adique considérée, il conduit à des conclusions erronées sur l'unicité des développements ou l'injectivité de la complétion.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Lorsque le théorème s'applique, les éléments et les modules admettent des développements I-adiques uniques et le foncteur de complétion est fidèle sur R ; cela permet de réduire des questions au cas complet adique et garantit que les limites topologiques traduisent l'annulation algébrique.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La situation inverse se produit lorsque ⋂ I^n est non trivial : l'anneau n'est pas séparé pour la topologie I-adique, des éléments non nuls sont indiscernables de zéro. Cette non-séparation empêche les relèvements, l'unicité des développements et l'injectivité des morphismes de complétion.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux anneaux et idéaux répondant aux hypothèses adiques — classiquement les anneaux locaux noethériens (souvent complets) ou les anneaux noethériens avec I dans le radical jacobsonien. Ne s'étend pas automatiquement aux anneaux quelconques, aux idéaux hors du radical jacobsonien ni aux topologies non engendrées par des puissances d'idéaux.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec les phénomènes de type Nakayama et la notion de complétude : Krull Intersection affirme la séparation (injectivité vers la complétion) alors que la complétude porte sur la surjectivité ; un anneau peut être séparé sans être complet et inversement.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le Théorème d'Intersection de Krull affirme que, sous noethéarité et hypothèses voisines, la topologie I-adique sépare les points en garantissant qu'aucun élément non nul n'appartient à toutes les puissances de I, assurant ainsi l'unicité des développements adiques et l'injectivité de la complétion.