##  [Théorème des Idéaux Principaux de Krull](/fr/node/63916) 

 Définition

Théorème de théorie de la dimension qui affirme que dans un anneau noethérien R, tout idéal premier minimal au‑dessus d'un idéal principal (f) a une hauteur au plus égale à un ; de façon équivalente, la hauteur de tout idéal premier minimal au‑dessus d'un idéal engendré par r éléments est au plus r (le cas principal donne donc la borne un).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Une seule équation ne peut couper des composantes de codimension supérieure à un dans un anneau noethérien : le nombre de générateurs d'un idéal fournit une borne supérieure sur la codimension de ses composantes premières minimales.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Dans le polynôme k[x,y,z], l'idéal principal (f) définit une hypersurface dont les composantes irréductibles ont codimension un ; les premiers minimaux au‑dessus de (f) correspondent aux facteurs irréductibles et leur hauteur est ≤ 1, illustrant le théorème.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Supposer que la borne de hauteur vaut sans l'hypothèse noethérienne ou pour des idéaux n'étant pas engendrés par le nombre d'éléments supposé ; dans des anneaux non noethériens ou pour des idéaux nécessitant plus de générateurs la borne peut échouer.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Donne un contrôle fondamental sur la dimension et la codimension en algèbre commutative, est utilisé pour déduire des propriétés des diviseurs et des hypersurfaces, et sous‑tend des arguments où une équation coupe en codimension un.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

La réciproque—que tout premier de hauteur ≤ 1 soit minimal au‑dessus d'un idéal principal—est fausse en général ; bien que de nombreux premiers de hauteur un soient principaux dans certaines classes d'anneaux (par ex. les UFD), le théorème fournit seulement une borne supérieure et non une caractérisation.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux anneaux noethériens et concerne les premiers minimaux au‑dessus d'idéaux engendrés par un nombre donné d'éléments ; il exclut les anneaux non noethériens et n'affirme pas l'existence de premiers d'une hauteur donnée, seulement des bornes supérieures pour les premiers au‑dessus de générateurs donnés.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre le théorème principal des idéaux de Krull (une borne sur les hauteurs) et des énoncés plus fins comme Cohen–Macaulay ou les propriétés de factorisation unique qui donnent des informations structurelles plus fortes ; il convient de ne pas surinterpréter la borne de hauteur comme une classification structurelle.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le théorème des idéaux principaux de Krull contraint la façon dont les équations réduisent la dimension dans les anneaux noethériens : une équation principale ne peut introduire que des composantes minimales de codimension un, fournissant une borne fondamentale utilisée en théorie de la dimension et dans l'étude des hypersurfaces.