##  [Lemme de Schur](/fr/node/63904) 

 Définition

Énoncé sur les homomorphismes entre modules (ou représentations) simples : tout homomorphisme non nul entre modules simples est un isomorphisme ; par conséquent, l'anneau des endomorphismes d'un module simple est un corps à division (et sur un corps algébriquement clos c'est simplement le corps des scalaires).

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

La simplicité impose une rigidité des morphismes : les objets simples n'ont pas de sous-objets propres non nuls, ainsi les morphismes entre eux sont soit nuls soit inversibles, rendant leurs endomorphismes semblables à des scalaires.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Si V et W sont représentations irréductibles d'un groupe sur un corps k et f : V → W est une application G-linéaire non nulle, alors ker f et im f sont des sous-modules G ; la simplicité implique ker f = 0 et im f = W, donc f est un isomorphisme. Pour V simple, End_G(V) est une algèbre à division sur k.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Prendre pour acquis que End(V) = k simplement parce que V est simple quand le corps de base n'est pas algébriquement clos ; ou appliquer le lemme à des modules qui ne sont pas simples.

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Fonde de nombreux résultats en théorie des représentations : classification des irréductibles, relations d'orthogonalité de Schur, et emploi d'algèbres à division d'endomorphismes dans l'étude des blocs et des algèbres simples centrales.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Pour des modules non simples, les anneaux d'endomorphismes peuvent être volumineux et les applications ne sont pas nécessairement nulles ou inversibles ; la simplicité est l'hypothèse décisive perdue dans la réciproque.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux modules ou représentations simples/irréductibles ; dans des contextes de dimension infinie il faut vérifier les hypothèses de catégorie et la topologie éventuelle ; la conclusion End = corps de base exige la clôture algébrique.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension avec les résultats sur les modules semi-simples : Schur décrit les endomorphismes des morceaux simples individuels, tandis que la semi-simplicité traite de la décomposition en tels morceaux ; on peut avoir des endomorphismes rigides pour les simples alors que les décompositions globales varient.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

Le lemme de Schur exprime la rigidité des objets irréductibles : les applications non nulles entre eux sont des isomorphismes, et leurs endomorphismes forment une algèbre à division qui se réduit aux scalaires sur un corps algébriquement clos.