## [Lissité Formelle](/fr/node/63898) Définition La lissité formelle (pour une algèbre ou un morphisme d'algèbres) est la propriété de relèvement infinitésimal : pour tout anneau B et tout idéal nilpotent I ⊂ B, tout morphisme d'anneaux A → B/I se relève en un morphisme A → B. En algèbre commutative cela coïncide avec la lissité formelle géométrique et est lié à la projectivité du module des différentielles pour les algèbres de présentation finie. ## Principe Principe Encode l'absence d'obstructions infinitésimales aux déformations des morphismes sortant de A : les objets formellement lisses admettent des relèvements le long des épaississements nilpotents et ont donc une théorie des déformations du premier ordre non obstructée. ## Démonstration Démonstration Exemple : les algèbres de polynômes k[x_1,...,x_n] sont formellement lisses sur k car toute application vers B/I se relève en choisissant des préimages des variables. En contexte non commutatif, les algèbres séparables sur un corps sont formellement lisses et les algèbres de matrices héritent de cette propriété. ## Mauvaise application Mauvaise application Supposer que la lissité formelle est équivalente à la lissité géométrique en tout contexte ou qu'elle implique la présentation finie ; la lissité formelle est une condition de relèvement qui peut tenir même si l'algèbre n'est pas de type fini, et inversement la lissité géométrique demande des hypothèses supplémentaires. ## Conséquence Conséquence Les algèbres formellement lisses ont une théorie des déformations bien comportée : les morphismes s'étendent sur les épaississements nilpotents, les groupes d'obstruction s'annulent dans les degrés pertinents, et l'on obtient souvent l'existence de déformations verselles et de bonnes propriétés homologiques. ## Inversion Inversion L'absence de lissité formelle signale la présence d'obstructions : certains morphismes ne peuvent pas être relevés au travers d'extensions nilpotentes et des déformations infinitésimales peuvent être obstruées. ## Limite Limite Il faut préciser l'anneau de base et la catégorie (commutatif vs non commutatif) ; la propriété est subtile pour les constructions infinies et doit être combinée à des hypothèses de finitude pour être comparée aux notions géométriques de morphismes lisses. ## Tension sémantique Tension sémantique Tension entre lissité formelle, lissité géométrique et platitude : ces notions se recoupent dans de nombreux cadres classiques mais aucune ne permet de déduire automatiquement les autres sans hypothèses additionnelles (par ex. présentation finie, fibres régulières). ## Synthèse Synthèse La lissité formelle est l'absence algébrique d'obstructions infinitésimales au relèvement des morphismes au travers d'épaississements nilpotents ; c'est une condition de liberté en théorie des déformations qui, sous hypothèses de finitude, coïncide avec la lissité classique.