##  [Longueur de Loewy](/fr/node/63894) 

 Définition

La longueur de Loewy d'un module M (ou d'une algèbre vue comme module sur elle‑même) est le plus petit entier n tel que la filtration de Loewy (par les socles) atteigne M en n étapes : 0 = L_0 ⊂ L_1 ⊂ ··· ⊂ L_n = M avec chaque quotient L_{i+1}/L_i égal au socle de M/L_i.

 

 

 

 

 

 





## Principe

Principe

Mesure le nombre de couches semi‑simples nécessaires pour construire l'objet à partir de sous‑modules simples en adjoint itérativement le socle ; quantifie la profondeur de la non semi-simplicité.

 

 

 

 

 





## Démonstration

Démonstration

Exemple : pour l'algèbre locale k[x]/(x^n) vue comme module régulier, le socle est engendré par x^{n-1} et la longueur de Loewy du module régulier vaut n. Pour un module semi-simple la longueur de Loewy est 1.

 

 

 

 

## Mauvaise application

Mauvaise application

Confondre longueur de Loewy et longueur de composition ou dimension de Krull ; contrairement à la longueur de composition, la longueur de Loewy compte des couches de socle et peut être finie alors que la longueur de composition est infinie (ou inversement).

 

 

 

 

 





## Conséquence

Conséquence

Une longueur de Loewy finie fournit une filtration finie par couches semi‑simples, facilite les raisonnements par induction et est liée aux indices de nilpotence des radicaux : pour les modules artiniens l'indice de nilpotence du radical de Jacobson contrôle la longueur de Loewy du module régulier.

 

 

 

 

## Inversion

Inversion

Une longueur de Loewy égale à 1 caractérise les objets semi‑simples ; une longueur plus grande traduit des couches successives d'extensions entre constituants simples.

 

 

 

 

 





## Limite

Limite

S'applique aux modules sur des anneaux où le socle est bien défini (typiquement sous ACC/DCC) ; pour des modules sans socle bien comporté ou certains modules infinis, la série de Loewy peut ne pas se stabiliser ou nécessiter des étapes transfinites.

 

 

 

 

 





## Tension sémantique

Tension sémantique

Tension entre longueur de Loewy et longueur de composition : les deux mesurent la 'taille' d'un module mais selon des filtrations différentes (couches de socle vs facteurs simples de Jordan–Hölder), ce qui donne des invariants distincts pour les problèmes d'extensions.

 

 

 

 

 





## Synthèse

Synthèse

La longueur de Loewy est un comptage de couches : le nombre minimal d'itérations du socle pour reconstituer le module, offrant une mesure discrète de l'éloignement à la semi‑simplicité et se reliant à la nilpotence des radicaux en contexte artinien.